评“周髀算经”

周髀算经 赵爽(汉) 甄鸾(北周)注  【内容简介】 　　《周髀算经》是中国流传至今的最早的一部数学著作，同时也是一部天文学著作。 　　中国古代按所提出的宇宙模式的不同，在天文学上曾有三种学说。“盖天说”是其中之一，而《周髀算经》是“盖天说”的代表。这派学说主张：天象盖笠，地法覆盆（天空如斗笠，大地像翻扣的盆）。 　　据考证，现传本《周髀算经》大约成书于西汉时期（公元前一世纪）。南宋时的传刻本（1213）是目前传世的最早刻本。历代许多数学家都曾为此书作注，其中最著名的是唐李淳风等人所作的注。《周髀算经》还曾传入朝鲜和日本，在那里也有不少翻刻注释本行世。 　　从所包含的数学内容来看，书中主要讲述了学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等。  周髀算经 -------------------------------------------------------------------------------- 　　周髀算经卷上之一 昔者周公问于商高曰。窃闻乎大夫善数也。 　　请问古者包牺立周天历度。 　　夫天不可阶而升。地不可得尺寸而度。 　　请问数安从出。 　　商高曰。数之法。出于圆方。 　　圆出于方。方出于矩。 　　矩出于九九八十一。 　　故折矩。 　　以为句。广三。 　　股修四。 　　径隅五。 　　既方其外。半之一矩。 　　环而共盘。得成三四五。 　　两矩共长二十有五。是谓积矩。 　　故禹之所以治天下者。此数之所生也。 　　周公曰。大哉言数。 　　请问用矩之道。 　　商高曰。平矩以正绳。 　　偃矩以望高。覆矩以测深。卧矩以知远。 　　环矩以为圆。合矩以为方。 　　方属地。圆属天。天圆地方。 　　方数为典。以方出圆。 　　笠以写天。 　　天青黑。地黄赤。天数之为笠也。青黑为表。丹黄为里。以象天地之位。 　　是故。知地者智。知天者圣。 　　智出于句。 　　句出于矩。 　　夫矩之于数。其裁制万物。惟所为耳。 　　周公曰。善哉。 -------------------------------------------------------------------- 　　周髀算经卷上之二 昔者。荣方问于陈子。 　　曰。今者窃闻夫子之道。 　　知日之高大。 　　光之所照。一日所行。远近之数。 　　人所望见。 　　四极之穷。 　　列星之宿。 　　天地之广袤。 　　夫子之道。皆能知之。其信有之乎。 　　陈子曰。然。 　　荣方曰。方虽不省。愿夫子幸而说之。 　　今若方者。可教此道耶。 　　陈子曰。然。 　　此皆算术之所及。 　　子之于算。足以知此矣。若诚累思之。 　　于是荣方归而思之。数日不能得。 　　复见陈子曰。方、思之不能得。敢请问之。陈子曰。思之未熟。 　　此亦望远起高之术。而子？能得。则子之于数。未能通类。 　　是智有所不及。而神有所穷。 　　夫道术、言约而用博者。智类之明。 　　问一类而以万事达者。谓之知道。 　　今子所学。 　　算数之术。是用智矣。而尚有所难。是子之智类单。 　　夫道术所以难通者。既学矣。患其不博。 　　既博矣。患其不习。 　　既习矣。患其不能知。 　　故同术相学。 　　同事相观。此列士之愚智。 　　贤不肖之所分。 　　是故能类以合类。此贤者业精习智之质也。 　　夫学同业而不能入神者。此不肖无智。而业不能精习。 　　是故算不能精习。吾岂以道隐子哉。固复熟思之。 　　荣方复归思之。数日不能得。复见陈子曰。方思之以精熟矣。智有所不及。而神有所穷。知不能得。愿终请说之。 　　陈子曰。复坐。吾语汝。于是荣方复坐而请陈子之说。曰夏至南万六千里。冬至南十三万五千里。 　　日中立竿测影。 　　此一者。天道之数。 　　周髀长八尺。夏至之日晷一尺六寸。 　　髀者。股也。正晷者。句也。 　　正南千里。句一尺五寸。正北千里。句一尺七寸。 　　日益表。南晷日益长。候句六尺。 　　即取竹空径一寸。长八尺。捕影而视之。空正掩日。 　　而日应空之孔。 　　由此观之。率八十寸。而得径一寸。 　　故以句为首。以髀为股。 　　从髀至日下六万里。而髀无影。从此以上至日。则八万里。 　　以率率之。八十里得径一里。十万里得径千二百五十里。 　　故曰。日晷径。千二百五十里。 　　若求邪至日者。以日下为句。日高为股。句股各自乘。并而开方除之。得邪至日。从髀所旁至日所。十万里。 　　法曰。周髀长八尺。句之损益。寸千里。 　　故曰。极者天广袤也。 　　今立表高八尺以望极。其句一丈三寸。由此观之。则从周北十万三千里而至极下。 　　荣方曰。周髀者何。陈子曰。古时天子治周。 　　此数望之从周。故曰周髀。 　　髀者。表也。 　　日夏至南万六千里。日冬至南十三万五十里。日中无影。以此观之。从南至夏至之日中十一万九千里。 　　北至其夜半亦然。 　　凡径。二十三万八千里。 　　此夏至日道之径也。其周。七十一万四千里。 　　从夏至之日中。至冬至之日中。十一万九千里。 　　北至极下亦然。则从极南至冬至之日中。二十三万八千里。从极北至其夜半亦然。凡径四十七万六千里。此冬至日道径也。其周百四十二万八千里。从春秋分之日中北至极下。十七万八千五百里。 　　从极下北至其夜半亦然。凡径三十五万七千里。周一百七万一千里。故曰月之道常缘宿。日道亦与宿正。 　　南至夏至之日中。北至冬至之夜半。南至冬至之日中。北至夏至之夜半。亦径三十五万七千里。周一百七万一千里。 　　春分之日夜分。以至秋分之日夜分。极下常有日光。 　　秋分之日夜分。以至春分之日夜分。极下常无日光。 　　故春秋分之日夜分之时。日光所照。适至极。阴阳之分等也。冬至夏至者。日道发敛之所生也。至昼夜长短之所极。 　　春秋分者。阴阳之修。昼夜之象。 　　昼者阳。夜者阴。 　　春分以至秋分。昼之象。 　　秋分至春分。夜之象。故春秋分之日中。光之所照北极下。夜半日光之所照亦南至极。此日夜分之时也。故曰日照四旁。各十六万七千里。 　　人所望见远近。宜如日光所照。 　　从周所望见。北过极六万四千里。 　　南过冬至之日三万二千里。 　　夏至之日中光。南过冬至之日中光四万八千里。 　　南过人所望见万六千里。 　　北过周十五万一千里。北过极四万八千里。 　　冬至之夜半日光。南不至人目所见七千里。 　　不至极下七万一千里。 　　夏至之日中与夜半日光九万六千里。过极相接。 　　冬至之日中与夜半日光。不相及十四万二千里。不至极下七万一千里。 　　夏至之日。正东西望。直周东西日下至周五万九千五百九十八里半。冬至之日。正东西方不见日。 　　以算求之。日下至周二十一万四千五百五十七里半。 　　凡此数者。日道之发敛。 　　冬至夏至。观律之数。听钟之音。 　　冬至昼。夏至夜。 　　差数及日光所还观之。 　　四极径八十一万里。周二百四十三万里。 　　从周南至日照处三十万二千里。 　　周北至日照处五十万八千里。 　　东西各三十九万一千六百八十三里半。 　　周在天中南十万三千里。故东西短中径二万六千六百三十二里有奇。 　　周北五十万八千里。冬至日十三万五千里。冬至日道径四十七万六千里。周百四十二万八千里。日光四极。当周东西各三十九万一千六百八十三里有奇。 　　此方圆之法。 --------------------------------------------------------------- 　　周髀算经卷上之三 凡为此图。以丈为尺。以尺为寸。以寸为分。分、一千里。凡用缯方八尺一寸。今用缯方四尺五分。分、为二千里。 　　吕氏曰。凡四海之内。东西二万八千里。南北二万六千里。 　　凡为日月运行之圆周。七衡周而六閒。以当六月。 　　节六月为百八十二日八分日之五。 　　故日夏至在东井极内衡。日冬至在牵牛极外衡也。 　　衡复更。终冬至。 　　故曰一岁三百六十五日四分日之一。岁一内极一外极。 　　三十日十六分日之七。月一外极一内极。 　　是故。一衡之閒。万九千八百三十三里三分里之一。即为百步。 　　欲知次衡径。倍而增内衡之径。 　　二之。以增内衡径。 　　次衡放此。 　　内一衡径二十三万八千里。周七十一万四千里。分为三百六十五度四分度之一。度得一千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三。 　　次二衡径二十七万七千六百六十六里二百步。周八十三万三千里。分里为度。度得二千二百八十里百八十八步千四百六十一分步之千三百三十二。 　　次三衡径三十一万七千三百三十三里一百步。周九十五万二千里。分为度。度得二千六百六里百三十步千四百六十一分步之二百七十。 　　次四衡径三十五万七千里。周一百七万一千里。分为度。度得二千九百三十二里七十一步四千百六十一分步之六百六十九。 　　次五衡径三十九万六千六百六十六里二百步。周百一十九万里。分为度。度得三千二百五十八里十二步千四百六十一分步之千六十八。 　　次六衡径四十三万六千三百三十三里一百步。周百三十万九千里。分为度。度得三千五百八十三里二百五十四步千四百六十一分步之六。 　　次七衡径四十七万六千里周百四十二万八千里。分为度。度得三千九百九里一百九十五步千四百六十一分步之四百五。 　　其次曰。冬至所北照过北衡十六万七千里。 　　为径八十一万里。 　　周二百四十三万里。 　　分为三百六十五度四分度之一。度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七。过北而往者。未之或知。 　　或知者。或疑其可知。或疑其难知。此言上圣不学而知之。 　　故冬至日晷丈三尺五寸。夏至日晷尺六寸。冬至日晷长。夏至日晷短。日晷损益寸。差千里。故冬至夏至之日。南北游十一万九千里。四极径八十一万里。周二百四十三万里。分为度。度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七。此度之相去也。 　　其南北游日六百五十一里一百八十二步一千四百六十一分步之七百九十八。 　　术曰。置十一万九千里为实。以半岁一百八十二日八分日之五为法。 　　而通之。 　　得九十五万二千为实。 　　所得一千四百六十一为法。除之。 　　实如法得一里。不满法者。三之。如法得百。步。 　　不满法者十之。如法得十。步。 　　不满法者十之。如法得一。步。 　　不满法者。以法命之。 ============================================== ============================================== 　　周髀算经卷下之一 凡日月运行。四极之道。 　　极下者。其地高人所居六万里。滂沱四隤而下。 　　天之中央。亦高四旁六万里。 　　故日光外所照。经八十一万里。周二百四十三万里。 　　故日运行处极北。北方日中。南方夜半。日在极东。东方日中。西方夜半。日在极南。南方日中。北方夜半。日在极西。西方日中。东方夜半。凡此四方者。天地四极四和。 　　昼夜易处。 　　加四时相及。 　　然其阴阳所终。冬夏所极。皆若一也。 　　天象盖笠。地法覆槃。 　　天离地八万里。 　　冬至之日。虽在外衡。常出极下地上二万里。 　　故日兆月。 　　月光乃出。故成明月。 　　星辰乃得行列。 　　是故秋分以往到冬至。三光之精微。以成其道远。 　　此天地阴阳之性自然也。 　　欲知北极枢。旋周四极。 　　当以夏至夜半时。北极南游所极。 　　冬至夜半时。北游所极。 　　冬至日加酉之时。西游所极。 　　日加卯之时。东游所极。 　　此北极璇玑四游。 　　正北极枢。璇玑之中。正北。天之中。 　　正极之所游。冬至日加酉之时。立八尺表。以绳繫表颠。希望北极中大星。引绳计地而识之。 　　又到旦明日加卯之时。复引绳希望之。首及绳致地。而识其端相去二尺三寸。 　　故东西极二万三千里。 　　其两端相去。正东西。 　　中折之。以指表。正南北。 　　加此时者。皆以漏揆度之。此东西南北之时。 　　其绳致地。所识去表丈三寸。故天之中去周十万三千里。 　　何以知其南北极之时。以冬至夜半北游所极也。北过天中万一千五百里。以夏至南游所极。不及天中万一千五百里。此皆以绳繫表颠而希望之。北极至地所识丈一尺四寸半。故去周十一万四千五百里。 　　过天中万一千五百里。其南极至地所识九尺一寸半。故去周九万一千五百里。其南不及天中万一千五百里。此璇玑四极南北过不及之法。东西南北之正句。 　　周去极十万三千里。日去人十六万七千里。夏至去周万六千里。夏至日道径二十三万八千里。周七十一万四千里。春秋分日道径三十五万七千里。周百七万一千里。冬至日道径四十三万六千里。周百四十二万八千里。日光四极八十一万里。周二百四十三万里。从周南三十万二千里。 　　璇玑径二万三千里。周六万九千里。此阳绝阴彰。故不生万物。 　　其术曰。立正句定之。 　　以日始出。立表而识其晷。日入复识其晷。晷之两端相直者。正东西也。中折之。指表者。正南北也。极下不生万物。何以知之。 　　冬至之日。去夏至十一万九千里。万物尽死。夏至之日。去北极十一万九千里。是以知极下不生万物。北极左右。夏有不释之冰。 　　春分秋分。日在中衡。春分以往。日益北五万九千五百里而夏至。秋分以往。日益南五万九千五百里而冬至。 　　中衡去周七万五千五百里。 　　中衡左右。冬有不死之草。夏长之类。 　　此阳彰阴微。故万物不死。五穀一岁再熟。 　　凡北极之左右。物有朝生暮获。 　　立二十八宿。以周天历度之法。 　　术曰。倍正南方。 　　以正句定之。即平地径二十一步。周六十三步。令其平矩以水正。 　　则位径一百二十一尺七寸五分。因而三之。为三百六十五尺四分尺之一。 　　以应周天三百六十五度四分度之一。审定分之。无令有纤微。 　　分度以定。则正督经纬。而四分之一。合各九十一度十六分度之五。 　　于是圆定而正。 　　则立表正南北之中央。以绳繫颠。希望牵牛中央星之中。 　　则复候须女之星先至者。 　　如复以表绳。希望须女先至定中。 　　即以一游仪。希望牵牛中央星。出中正表西几何度。 　　各如游仪所至之尺。为度数。 　　游在于八尺之上。故知牵牛八度。 　　其次星。放此。以尽二十八宿度。则定矣。 　　立周度者。 　　各以其所先至游仪度上。 　　车辐引绳就中央之正以为毂。则正矣。 　　日所以入。亦以周定之。 　　欲知日之出入。 　　以东井夜半中。牵牛之初临子之中。 　　东井出中正表西三十度十六分度之七而临未之中。牵牛初亦当临丑之中。 　　于是天与地协。 　　乃以置周二十八宿。 　　置以定。乃复置周度之中央。立正表。 　　以冬至夏至之日。以望日始出也。立一游仪于度上。以望中央表之晷。 　　晷参正。则日所出之宿度。 　　日入放此。 ----------------------------------------------------------- 　　周髀算经卷下之二 牵牛。去北极百一十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九。 　　术曰。置外衡去北极枢二十三万八千里。除璇玑万一千五百里。 　　其不除者。二十二万六千五百里。以为实。 　　以内衡一度数千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三以为法。 　　实如法得一。度。 　　不满法。求里步。 　　约之。合三百得一。以为实。 　　以千四百六十一分为法。得一。里。 　　不满法者。三之。如法得百。步。 　　不满法者。又上十之。如法得一。步。 　　不满法者。以法命之。 　　次、放此。 　　娄与角。去北极九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六。 　　术曰。置中衡去北极枢十七万八千五百里。以为实。 　　以内衡一度数为法。实如法得一。度。不满法者。求里步。不满法者。以法命之。 　　东井去北极六十六度千四百八十一里百五十五步千四百六十一分步之千二百四十五。 　　术曰、置内衡去北极枢十一万九千里。加璇玑万一千五百里。 　　得十三万五百里。以为实。 　　以内衡一度数为法。实如法得一。度。不满法者。求里步。不满法者。以法命之。 　　凡八节二十四气。气损益九寸九分六分分之一。冬至晷长一丈三尺五寸。夏至晷长一尺六寸。问次节损益寸数长短各几何。 　　冬至晷长丈三尺五寸。 　　小寒丈二尺五寸。小分五。 　　大寒丈一尺五寸一分。小分四。 　　立春丈五寸二分。小分三。 　　雨水九尺五寸三分。小分二。 　　启蛰八尺五寸四分。小分一。 　　春分七尺五寸五分。 　　清明六尺五寸五分。小分五。 　　穀雨五尺五寸六分。小分四。 　　立夏四尺五寸七分。小分三。 　　小满三尺五寸八分。小分二。 　　芒种二尺五寸九分。小分一。 　　夏至一尺六寸。 　　小暑二尺五寸九分。小分。 　　大暑三尺五寸八分。小分二。 　　立秋四尺五寸七分。小分三。 　　处暑五尺五寸六分。小分四。 　　白露六尺五寸五分。小分五。 　　秋分七尺五寸五分。小分一。 　　寒露八尺五寸四分。小分一。 　　霜降九尺五寸三分。小分二。 　　立冬丈五寸二分。小分三。小雪丈一尺五寸一分。小分四。 　　大雪丈二尺五寸。小分五。 　　凡为八节二十四气。气损益九寸九分六分分之一。 　　冬至夏至。为损益之始。 　　术曰。置冬至晷。以夏至晷减之。馀为实。以十二为法。 　　实如法得一。寸。不满法者。十之。以法除之。得一。分。 　　不满法者。以法命之。 　　月后天十三度十九分度之七。 　　术曰。置章月二百三十五。以章岁十九除之。加日行一度。得十三度十九分度之七。此月一日行之数。即后天之度及分。 　　小岁。月不及故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二。 　　术曰。置小岁三百五十四日九百四十分日之三百四十八。 　　以月后天十三度十九分度之七乘之。为实。 　　又以度分母乘日分母。为法。实如法。得积后天四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百一十二。 　　以周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五除之。 　　其不足除者。 　　三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二。 　　此月不及故舍之分度数。他皆放此。 　　大岁。月不及故舍十八度万七千八百六十分度之万一千六百二十八。 　　术曰。置大岁三百八十三日九百四十分日之八百四十七。 　　以月后天十三度十九分度之七乘之。为实。又以度分母乘日分母。为法。实如法。得积后天五千一百三十二度万七千八百六十分度之二千六百九十八。 　　以周天除之。 　　其不足除者。 　　此月不及故舍之分度数。 　　经岁。月不及故舍百三十四度万七千八百六十分度之万一百五。 　　术曰。置经岁三百六十五日九百四十分日之二百三十五。 　　以月后天十三度十九分度之七乘之。为实。又以度分母乘日分母。为法。实如法。得积后天四千八百八十二度万七千八百六十分度之万四千五百七十。 　　以周天除之。 　　其不足除者。 　　此月不及故舍之分度数。 　　小月。不及故舍二十二度万七千八百六十分度之七千七百五十五。 　　术曰。置小月二十九日。 　　以月后天十三度十九分度之七乘之。为实。又以度分母乘日分母。为法。实如法。得积后天三百八十七度万七千八百六十分度之万二千二百二十。 　　以周天分除之。 　　其不足除者。此月不及故舍之分度数。 　　大月。不及故舍三十五度万七千八百六十分度之万四千三百三十五。 　　术曰。置大月三十日。 　　以月后天十三度十九分度之七乘之。为实。又以度分母乘日分母。为法。实如法。得积后天四百一度万七千八百六十分度之九百四十。 　　以周天除之。 　　其不足除者。 　　此月不及故舍之分度数。 　　经月。不及故舍二十九度万七千八百六十分度之九千四百八十一。 　　术曰。置经月二十九日九百四十分日之四百九十九。 　　以月后天十三度十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分母。为法。实如法。得积后天三百九十四度万七千八百六十分度之万三千九百四十六。 　　以周天除之。 　　其不足除者。 　　此月不及故舍之分度数。 　　六百五十二万三千三百六十五除之。得一周。馀分五十二万七千四百二十一。即不及故舍之分。以一万七千八百六十除之。得经月不及故舍二十九度。不尽九千四百八十一。即以命分。 ----------------------------------------------------------- 　　周髀算经卷下之三 冬至昼极短。日出辰而入申。 　　阳照三。不覆九。 　　东西相当。正南方。 　　夏至昼极长。日出寅而入戌。阳照九。不覆三。 　　东西相当。正北方。 　　日出左而入右。南北行。 　　故冬至从坎阳在子。日出巽而入坤。见日光少。故曰寒。 　　夏至从离阴在午。日出艮而入乾。见日光多。故曰暑。日月失度。而寒暑相姦。 　　往者诎。来者信也。故诎信相感。 　　故冬至之后。日右行。夏至之后。日左行。左者往。右者来。 　　故月与日合。为一月。 　　日复日。为一日。 　　日复星。为一岁。 　　外衡冬至。 　　内衡夏至。 　　六气复返。皆谓中气。 　　阴阳之数。日月之法。十九岁为一章。 　　四章为一蔀。七十六岁。 　　二十蔀为一遂。遂千五百二十岁。 　　三遂为一首。首四千五百六十岁。 　　七首为一极。极三万一千九百二十岁。生数皆终。万物复始。 　　天以更元作纪历。 　　何以知天三百六十五度四分度之一。而日行一度。而月后天十三度十九分度之七。二十九日九百四十分日之四百九十九。为一月。十二月十九分月之七。为一岁。 　　周天除之。 　　其不足除者。如合朔。古者包牺神农。制作为历。度元之始。见三光未如其则。 　　日月列星。未有分度。 　　日主昼。月主夜。昼夜为一日。日月俱起建星。 　　月度疾。日度迟。 　　日月相逐于二十九日三十日閒。 　　而日行天二十九度馀。 　　未有定分。 　　于是三百六十五日南极影长。明日反短。以岁终日影反长。故知之三百六十五日者三。三百六十六日者一。 　　故知一岁三百六十五日四分日之一。岁终也。月积后天十三周。又与百三十四度馀。 　　无虑后天十三度十九分度之七。未有定。 　　于是日行天七十六周。月行天千一十六周。及合于建星。 　　置月行后天之数。以日后天之数除之。得十三度十九分度之七。则月一日行天之度。 　　复置七十六岁之积月。 　　以七十六岁除之。得十二月十九分月之七。则一岁之月。 　　置周天度数。以十二月十九分月之七除之。得二十九日九百四十分日之四百九十九。则一月日之数。 --------------------------------------------------------------------------------

评“缉古算经”

缉古算经

唐·王孝通

上辑古算经表

　　臣孝通言：臣闻九畴载叙，纪法著于彝伦；六艺成功，数术参于造化。夫为君上者，司牧黔首，布神道而设教，采能事而经纶，尽性穷源，莫重于算。昔周公制礼，有九数之名。窃寻九数，即《九章》是也。其理幽而微，其形秘而约，重句聊用测海，寸木可以量天，非宇宙之至精，其孰能与于此者？汉代张苍删补残缺，校其条目，颇与古术不同。魏朝刘徽笃好斯言，博综纤隐，更为之注。徽思极毫芒，触类增长，乃造重差之法，列于终篇。虽即未为司南，然亦一时独步。自兹厥后，不断前踪。贺循、徐岳之徒，王彪、甄鸾之辈，会通之数无闻焉耳。但旧经残驳，尚有阙漏，自刘已下，更不足言。其祖恒之《缀术》，时人称之精妙，曾不觉方邑进行之术，全错不通；刍亭方亭之问，于理未尽。臣今更作新术，于此附伸。臣长自闾阎，少小学算。镌磨愚钝，迄将皓首。钻寻秘奥，曲尽无遗。代乏知音，终成寡和。伏蒙圣朝收拾，用臣为太史丞，比年已来，奉敕校勘傅仁均历，凡驳正术错三十余道，即付太史施行。伏寻《九章·商功篇》有平地役功受袤之术，至于上宽下狭、前高后卑，正经之内，阙而不论，致使今代之人不达深理，就平正之门，同欹邪之用。斯乃圆孔方柄，如何可安？臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹，遂于平地之余，续狭斜之法，凡二十术，名曰《缉古》。请访能算之人，考论得失，如有排其一字，臣欲谢以千金。轻用陈闻，伏深战悚。谨言。
缉古算经
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“如有排其一字，臣欲谢以千金”，太狂妄了吧。




　　假今天正十一月朔夜半，日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母，朔月行定分九千，朔日定小余一万，日法二万，章岁七百，亦名行分法。今不取加时日度。问：天正朔夜半之时月在何处？（推朔夜半月度，旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制，意见甚众，并未得算妙，有理不尽，考校尤难。臣每日夜思量，常以此理屈滞，恐后代无人知者。今奉敕造历，因即改制，为此新术。旧推日度之术，巳得朔夜半日度，仍须更求加时日度，然知月处。臣今作新术，但得朔夜半日度，不须加时日度，即知月处。此新术比于旧术，一年之中十二倍省功，使学者易知）
　　答曰：在斗四度七百分度之五百三十。
　　术曰（推朔夜半月度，新术不复加时日度，有定小余乃可用之）：以章岁减朔月行定分，余以乘朔日定小余，满日法而一，为先行分。不尽者，半法已上收成一，已下者弃之。若先行分满日行分而一，为度分，以减朔日夜半日所在度分，若度分不足减，加往宿度；其分不足减者，退一度为行分而减之，余即朔日夜半月行所在度及分也（凡入历当月行定分，即是月一日之行分。但此定分满章岁而一，为度。凡日一日行一度。然则章岁者，即是日之一日行分也。今按：《九章·均输篇》有犬追兔术，与此术相似。彼问：犬走一百走，兔走七十步，令免先走七十五步，犬始追之，问几何步追及？答曰：二百五十步追及。彼术曰：以兔走减犬走，余者为法。又以犬走乘兔先走，为实。实如法而一，即得追及步数。此术亦然。何者？假令月行定分九千，章岁七百，即是日行七百分，月行九千分。令日月行数相减，余八千三百分者，是日先行之数。然月始追之，必用一日而相及也。令定小余者，亦是日月相及之日分。假令定小余一万，即相及定分，此乃无对为数。其日法者，亦是相及之分。此又同数，为有八千三百，是先行分也。斯则异矣。但用日法除之，即四千一百五十，即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后，以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分，即月夜半所在度分也）。
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全是胡说八道，月球、地球的运转轨道他根本就不知道！






　　假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多。上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈，甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五尺，限五日役台毕。羡道从台南面起，上广多下广一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲县一十三乡，乙县四十三乡，每乡别均赋常积六千三百尺，限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台，二县乡人共造羡道，皆从先给甲县，以次与乙县。台自下基给高，道自初登给袤。问：台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何？
　　答曰：
　　台高一十八丈
　　上广七丈，
　　下广九丈，
　　上袤一十丈，
　　下袤一十四丈；
　　甲县给高四丈五尺，
　　上广八丈五尺，
　　下广九丈，
　　上袤一十三丈，
　　下袤一十四丈；
　　乙县给高一十三丈五尺，
　　上广七丈，
　　下广八丈五尺，
　　上袤一十丈，
　　下袤一十三丈；
　　羡道高一十八丈，
　　上广三丈六尺，
　　下广二丈四尺，
　　袤一十四丈；
　　甲县乡人给高九丈，
　　上广三丈，
　　下广二丈四尺，
　　袤七丈；
　　乙县乡人给高九丈，
　　上广三丈六尺，
　　下广三丈，
　　袤七丈。
　　术曰：以程功尺数乘二县人，又以限日乘之，为台积。又以上下袤差乘上下广差，三而一，为隅阳幂。以乘截高，为隅阳截积。又半上下广差，乘斩上袤，为隅头幂。以乘截高，为隅头截积。并二积，以减台积，余为实。以上下广差并上下袤差，半之，为正数，加截上袤，以乘截高，所得增隅阳幂加隅头幂，为方法。又并截高及截上袤与正数，为廉法，从。开立方除之，即得上广。各加差，得台下广及上下袤、高。
　　求均给积尺受广袤，术曰：以程功尺数乘乙县人，又以限日乘之，为乙积。三因之，又以高幂乘之，以上下广差乘袤差而一，为实。又以台高乘上广，广差而一，为上广之高。又以台高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高，三之，为方法。又并两高，三之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即乙高。以减本高，余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高，以本高而一，所得加上广，即甲上广。又以袤差乘乙高，如本高而一，所得加上袤，即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤，台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤，有增损者，皆放此（此应六因乙积，台高再乘，上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广，广差而一，为上广之高。又以台高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。以上广之高乘上袤之高，为小幂二。因下袤之高，为中幂一。凡下袤、下广之高，即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高，为幂一。又下广之高乘下袤之高，为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一，复有上广、上袤之高各乘截高，为中幂各一。又截高自乘，为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高，为幂一。然则截高自相乘，为幂二，小幂六。又上广、上袤之高各三，以乘截高，为幂六。令皆半之，故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三，令但半之，各得一又二分之一，故三之，二而一，诸幂乘截高为积尺）。
　　求羡道广、袤、高，术曰：以均赋常积乘二县五十六乡，又六因，为积。又以道上广多下广数加上广少袤，为下广少袤。又以高多袤加下广少袤，为下广少高。以乘下广少袤，为隅阳幂。又以下广少上广乘之，为鳖隅积。以减积，余三而一，为实。并下广少袤与下广少高，以下广少上广乘之，鳖从横廉幂。三而一，加隅幂，为方法。又以三除上广多下广，以下广少袤、下广少高加之，为廉法，从。开立方除之，即下广。加广差，即上广。加袤多上广于上广，即袤。加高多袤，即道高。
　　求羡道均给积尺甲县受广、袤，术曰：以均赋常积乘甲县上十三乡，又六因，为积。以袤再乘之，以道上下广差乘台高为法而一，为实。又三因下广，以袤乘之，如上下广差而一，为都廉，从。开立方除之，即甲袤。以广差乘甲袤，本袤而一，以下广加之，即甲上广。又以台高乘甲袤，本袤除之，即甲高。
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“上广袤少，下广袤多。上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈”
这些条件，根本无法解题。“台高一十八丈　上广七丈，下广九丈，上袤一十丈，下袤一十四丈”，这个结论不知道从何得来？中间少了一个条件，各条边长和高度没有一条是已知的，都是互相比较的关系。这道题根本没法做！



　　假令筑堤，西头上、下广差六丈八尺二寸，东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺，上广多东头高四尺九寸，正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人，乙县一万六千六百七十七人，丙县一万九千四百四十八人，丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水宽一十二步，上山三当四，下山六当五，水行一当二，平道踟蹰十加一，载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造，一日役华。今从东头与甲，其次与乙、丙、丁。问：给斜、正袤与高，及下广，并每人一日自穿、运、筑程功，及堤上、下高、广各几何？
　　答曰：
　　一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分；
　　西头高三丈四尺一寸，
　　上广八尺，
　　下广七丈六尺二寸，
　　东头高三尺一寸，
　　上广八尺，
　　下广一丈四尺二寸，
　　正袤四十八丈，
　　斜袤四十八丈一尺；
　　甲县正袤一十九丈二尺，
　　斜袤一十九丈二尺四寸，
　　下广三丈九尺，
　　高一丈五尺五寸；
　　乙县正袤一十四丈四尺；
　　斜袤一十四丈四尺三寸，
　　下广五丈七尺六寸，
　　高二丈四尺八寸；
　　丙县正袤九丈六尺，
　　斜袤九丈六尺二寸，
　　下广七尺，
　　高三丈一尺；
　　丁县正袤四丈八尺，
　　斜袤四丈八尺一寸，
　　下广七丈六尺二寸，
　　高三丈四尺一寸。

　　求人到程功运筑积尺，术曰：置上山四十步，下山二十五步，渡水二十四步，平道一十一步，踟蹰之间十加一，载输一十四步，一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合，平道行一百九十二步，以乘一日六十二到，为实。却以一返步为法。除，得自运土到数也。又以一到负土数乘之，却以穿方一尺土数除之，得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升，以穿方一尺土数除之，为法。除之，得穿用人数。复置运功积，以每人一日常积除之，得筑用人数。并之，得六人。共成二十九尺七寸六分，以六人除之，即一人程功也。

　　求堤上、下广及高、袤，术曰：一人一日程功乘总人，为堤积。以高差乘下广差，六而一，为鳖幂。又以高差乘小头广差，二而一，为大卧堑头幂。又半高差，乘上广多东头高之数，为小卧堑头幂。并三幂，为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数，以减堤积，余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数，并三差，以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差，兼半小头广差加之，为廉法，从。开方立除之，即小高。加差，即各得广、袤、高。又正袤自乘，高差自乘，并，而开方除之，即斜袤。

　　求甲县高、广、正、斜袤，术曰：以程功乘甲县人，以六因取积，又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之，为实。又并小头上下广，以乘小高，三因之，为垣头幂。又乘袤幂，如法而一，为垣方。又三因小头下广，以乘正袤，以广差除之，为都廉，从。开立方除之，得小头袤，即甲袤。又以下广差乘之，所得以正袤除之，所得加东头下广，即甲广。又以两头高差乘甲袤，以正袤除之，以加东头高，即甲高。又以甲袤自乘；以堤东头高减甲高，余自乘，并二位，以开方除之，即得斜袤。若求乙、丙、丁，各以本县人功积尺，每以前大高、广为后小高、主廉母自乘，为方母。廉母乘方母，为实母（此平堤在上，羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝，中一堑堵。今以袤再乘六因积，广差乘袤差而一，得截鳖腝袤，再自乘，为立方一。又堑堵袤自乘，为幂一。又三因小头下广，大袤乘之，广差而一，与幂为高，故为廉法。又并小头上下广，又三之，以乘小头高为头幂，意同六除。然此头幂，本乘截袤。又袤乘之，差相乘而一。今还依数乘除一头幂，为从。开立方除之，得截袤）。

　　求堤都积，术曰：置西头高，倍之，加东头高，又并西头上下广，半而乘之。又置东头高，倍之，加西头高，又并东头上下广，半而乘之。并二位积，以正袤乘之，六而一，得堤积也。
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立体几何求体积，不过说的不清不楚，无图，也不知道具体条件。

“西头上、下广差六丈八尺二寸，东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺，上广多东头高四尺九寸，正袤多于东头高四百七十六尺九寸”，这些条件明显不够。
和上题一样，少条件，各条边长的对应关系已知，但没有给出任何一条边长，所以根本无解！
“西头高三丈四尺一寸，
　　上广八尺，
　　下广七丈六尺二寸，
　　东头高三尺一寸，
　　上广八尺，
　　下广一丈四尺二寸，
　　正袤四十八丈，
　　斜袤四十八丈一尺；”
这个答案是怎么解出来的？

这个堤是很不规则的一个棱台，后面又加入了代数运算，不过是体积/人每日所做的工程量=人数x天数





　　假令筑龙尾堤，其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多，下广少，堤头上下广差六尺，下广少高一丈二尺，少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人，乙县二千三百七十八人，丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分，一日役毕，三县共筑。今从堤尾与甲县，以次与乙、丙。问：龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。
　　答曰：
　　高三丈，
　　上广三丈四尺，
　　下广一丈八尺，
　　袤六丈六尺；
　　甲县高一丈五尺，
　　袤三丈三尺，
　　上广二丈一尺；
　　乙县高二丈一尺，
　　袤一丈三尺二寸，
　　上广二丈二尺二寸；
　　丙县高三丈，袤一丈九尺八寸，
　　上广二丈四尺。

　　求龙尾堤广、袤、高，术曰：以程功乘总人，为堤积。又六因之，为虚积。以少高乘少袤，为隅幂。以少上广乘之，为鳖隅积。以减虚积，余，三约之，所得为实。并少高、袤，以少上广乘之，为鳖从横廉幂。三而一，加隅幂，为方法。又三除少上广，以少袤、少高加之，为廉法，从。开立方除之，得下广。加差，即高、广、袤。

　　求逐县均给积尺受广、袤，术曰：以程功乘当县人，当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高，为法。除之，为实。又三因末广，以袤乘之，广差而一，为都廉，从。开立方除之，即甲袤。以本高乘之，以本袤除之，即甲高。又以广差乘甲袤，以本袤除之，所得加末广，即甲上广。其甲上广即乙末广，其甲高即垣高。求实与都廉，如前。又并甲上下广，三之，乘甲高，又乘袤幂，以法除之，得垣方，从。开立方除之，即乙袤。余放此（此龙尾犹羡除也。其堑堵一，鳖腝一，并而相连。今以袤再乘积，广差乘高而一，所得截鳖腝袤再自乘，为立方一。又堑堵袤自乘，为幂一。又三因末广，以袤乘之，广差而一，与幂为高，故为廉法）。
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“假令筑龙尾堤，其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多，下广少，堤头上下广差六尺，下广少高一丈二尺，少袤四丈八尺。”
条件没给够，无解，道理如上题。



　　假令穿河，袤一里二百七十六步，下广六步一尺二寸；北头深一丈八尺六寸，上广十二步二尺四寸；南头深二百四十一尺八寸；上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘，北头高二百二十三尺二寸，南头无高，下广四百六尺七寸五厘，袤与河同。甲郡二万二千三百二十人，乙郡六万八千七十六人，丙郡五万九千九百八十五人，丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑，各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役，河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北头先给甲郡，以次与乙，合均赋积尺。问：逐郡各给斜、正袤，上广及深，并漘上广各多少？
　　答曰：
　　漘上广五丈八尺二寸一分；
　　甲郡正袤一百四十四丈，
　　斜袤一百四十四丈三尺，
　　上广二十六丈四寸，
　　深一十一丈一尺六寸；
　　乙郡正袤一百一十五丈二尺，
　　斜袤一百一十五丈四尺四寸，
　　上广四十丈九尺二寸，
　　深一十八丈六尺；
　　丙郡正袤五十七丈六尺，
　　斜袤五十七丈七尺二寸，
　　上广四十八丈三尺六寸，
　　深二十二丈三尺二寸，
　　丁郡正袤二十八丈八尺，
　　斜袤二十八丈八尺六寸，
　　上广五十二丈八寸，
　　深二十四丈一尺八寸。
　　术曰：如筑堤术入之（覆堤为河，彼注甚明，高深稍殊，程功是同，意可知也）。以程功乘甲郡人，又以限日乘之，四之，三而一，为积。又六因，以乘袤幂。以上广差乘深差，为法。除之，为实。又并小头上、下广，以乘小头深，三之，为垣头幂。又乘袤幂，以法除之，为垣方。三因小头上广，以乘正袤，以广差除之，为都廉，从。开立方除之，即得小头袤，为甲袤。求深、广，以本袤及深广差求之。以两头上广差乘甲袤，以本袤除之，所得加小头上广，即甲上广。以小头深减南头深，余以乘甲袤，以本袤除之，所得加小头深，即甲深。又正袤自乘，深差自乘，并，而开方除之，即斜袤。若求乙、丙、丁，每以前大深、广为后小深、广，准甲求之，即得。
　　求漘上广，术曰：以程功乘总人，又以限日乘之，为积。六因之，为实。以正袤除之，又以高除之，所得以下广减之，余又半之，即漘上广。
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“假令穿河，袤一里二百七十六步，下广六步一尺二寸；北头深一丈八尺六寸，上广十二步二尺四寸；南头深二百四十一尺八寸；上广八十六步四尺八寸。”

这道题给的条件倒是足够，这个堤是个棱台，上底（北面）面积为：（74.4+37.2）x18.6/2=1037.88平方尺
下底（南面）面积为：（520.8+37.2）x241.8/2=67462.2平方尺，梯形长度为3456尺（一里二百七十六步）

棱台的体积公式为V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*H =88551632立方尺=88551.632立方丈
，除以总人数/3.72立方尺=126天，原答案96天完成，错误！





　　假令四郡输粟，斛法二尺五寸，一人作功为均。自上给甲，以次与乙。其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗，乙郡输粟三万四千九百五石六斗，丙郡输粟，二万六千二百七十石四斗，丁郡输粟一万四千七十八石四斗。四郡共穿窖，上袤多于上广一丈，少于下袤三丈，多于深六丈，少于下广一丈。各计粟多少，均出丁夫。自穿、负、筑，冬程人功常积一十二尺，一日役。问：窖上下广、袤、深，郡别出人及窖深、广各多少？
　　答曰：
　　窖上广八丈，
　　上袤九丈，
　　下广一十丈，
　　下袤一十二丈，
　　深三丈；
　　甲郡八千七十二人，
　　深一十二尺，
　　下袤一十丈二尺，
　　广八丈八尺；
　　乙郡七千二百七十二人，
　　深九尺，
　　下袤一十一丈一尺，
　　广九丈四尺；
　　丙郡五千四百七十三人，
　　深六尺，下袤一十一丈七尺，
　　广九丈八尺；
　　丁郡二千九百三十三人，
　　深三尺，
　　下袤一十二丈，
　　广一十丈。
　　求窖深、广、袤，术曰：以斛法乘总粟，为积尺。又广差乘袤差，三而一，为隅阳幂。乃置堑上广，半广差加之，以乘堑上袤，为隅头幂。又半袤差，乘堑上广，以隅阳幂及隅头幂加之，为方法。又置堑上袤及堑上广，并之，为大广。又并广差及袤差，半之，以加大广，为廉法，从。开立方除之，即深。各加差，即合所问。
　　求均给积尺受广、袤、深，术曰：如筑台术入之。以斛法乘甲郡输粟，为积尺。又三因，以深幂乘之，以广差乘袤差而一，为实。深乘上广，广差而一，为上广之高。深乘上袤，袤差而一，为上袤之高。上广之高乘上袤之高，三之，为方法。又并两高，三之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即甲深。以袤差乘之，以本深除之，所加上袤，即甲下袤。以广差乘之，本深除之，所得加上广，即甲下广。若求乙、丙、丁，每以前下广、袤为后上广、袤，以次皆准此求之，即得。若求人数，各以程功约当郡积尺。
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“四郡共穿窖，上袤多于上广一丈，少于下袤三丈，多于深六丈，少于下广一丈。”，条件不足，无解！

a1-b1=10尺
a2-a1=30尺
a1-h=60尺
b2-a1=10尺

4个方程式，5个变量，方程组无解！




　　假令亭仓上小下大，上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二斗。今已运出五十石四斗。问：仓上下方、高及余粟深、上方各多少？
　　答曰：
　　上方三尺，
　　下方九尺，
　　高一丈二尺；
　　余粟深、上方俱六尺。
　　求仓方、高，术曰：以斛法乘容粟，为积尺。又方差自乘，三而一，为隅阳幂。以乘截高，以减积，余为实。又方差乘截高，加隅阳幂，为方法。又置方差，加截高，为廉法，从。开立方除之，即上方。加差，即合所问。
　　求余粟高及上方，术曰：以斛法乘出粟，三之，以乘高幂，令方差幂而一，为实（此是大、小高各自乘，各乘取高。是大高者，即是取高与小高并）。高乘上方，方差而一，为小高。令自乘，三之，为方法。三因小高，为廉法，从。开立方除之，得取出高。以减本高，余即残粟高。置出粟高，又以方差乘之，以本高除之，所得加上方，即余粟上方（此本术曰：上下方相乘，又各自乘，并以高乘之，三而一。今还元，三之，又高幂乘之，差幂而一，得大小高相乘，又各自乘之数。何者？若高乘下方，方差而一，得大高也。若高乘上方，方差而一，得小高也。然则斯本下方自乘，故须高自乘乘之，差自乘而一，即得大高自乘之数。小高亦然。凡大高者，即是取高与小高并相连。今大高自乘为大方。大方之内即有取高自乘幂一，隅头小高自乘幂一。又其两边各有以取高乘小高，为幂二。又大小高相乘，为中方。中方之内即有小高乘取高幂一。又小高自乘，即是小方之幂又一。则小高乘大高，又各自乘三等幂，皆以乘取高为立积。故三因小幂为方，及三小高为廉也）。
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b-a=6尺
h-a=9尺
S1=a^2
S2=b^2
V=（S1+S2+平方根（S1xS2））/3Xh=187.2石=468立方尺（一斛=2.5立方尺）
化简得：a^3+15a^2+66a-360=0

一元三次方程，可解，但很复杂，可能还有复数根。支那古人对此根本一无所知。





　　假令刍甍上袤三丈，下袤九丈，广六丈，高一十二丈。有甲县六百三十二人，乙县二百四十三人。夏程人功当积三十六尺，限八日役。自穿筑，二县共造。今甲县先到。问：自下给高、广、袤、各多少？
　　答曰：
　　高四丈八尺，
　　上广三丈六尺，
　　袤六丈六尺。
　　求甲县均给积尺受广、袤，术曰：以程功乘乙县人数，又以限日乘之，为积尺。以六因之，又高幂乘之，又袤差乘广而一，所得又半之，为实。高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。三因上袤之高，半之，为廉法，从。开立方除之，得乙高。以减甍高，余即甲高。求广、袤，依率求之（此乙积本倍下袤，上袤从之。以下广及高乘之，六而一，为一甍积。今还元须六因之，以高幂乘之，为实。袤差乘广而一，得取高自乘以乘三上袤之高，则三小高为廉法，各以取高为方。仍有取高为立方者二，故半之，为立方一。又须半廉法）。
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棱台体积，公式如上。
V=（3x6+9x6+平方根3x6x9x6）x12/3=412.7立方丈
412700/（632+243）/36=13.1天

8天根本干不完！




　　假令圆囤上小下大，斛法二尺五寸，以率径一周三。上下周差一丈二尺，高多上周一丈八尺，容粟七百五斛六斗。今已运出二百六十六石四斗。问：残粟去口、上下周、高各多少？
　　答曰：
　　一周一丈八尺，
　　下周三丈，
　　高三丈六尺，
　　去口一丈八尺，
　　粟周二丈四尺。
　　求圆囤上下周及高，术曰：以斛法乘容粟，又三十六乘之，三而一，为方亭之积。又以周差自乘，三而一，为隅阳幂。以乘截高，以减亭积，余为实。又周差乘截高，加隅阳幂，为方法。又以周差加截高，为廉法，从。开立方除之，得上周。加差，而合所问。
　　求粟去口，术曰：以斛法乘出斛，三十六乘之，以乘高幂，如周差幂而一，为实。高乘上周，周差而一，为小高。令自乘，三之，为方法。三因小高，为廉法，从。开立方除之，即去口（三十六乘讫，即是截方亭，与前方窖不别）。置去口，以周差乘之，以本高除之，所得加上周，即粟周。
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上下周差一丈二尺，高多上周一丈八尺，容粟七百五斛六斗
R-r=2尺
h-6R=18尺
体积=3xR^2+3xr^2+平方根（3xR^2x3xr^2）xh/3=2x705.6x2.5=1764立方尺

化简得：18r^3+102r^2+156r-1676=0
一元三次方程，解略。




　　假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升，欲作方仓一，圆窖一，盛各满中而粟适尽。令高、深等，使方面少于圆径九寸，多于高二丈九尺八寸，率径七，周二十二。问：方、径、深多少？
　　答曰：
　　仓方四丈五尺三寸（容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合），
　　窖径四丈六尺二寸（容粟一万三百九十七石七斗七升二合），
　　高与深各一丈五尺五寸。
　　求方、径高深，术曰：十四乘斛法，以乘粟数，二十五而一，为实。又倍多加少，以乘少数，又十一乘之，二十五而一，多自乘加之，为方法。又倍少数，十一乘之，二十五而一，又倍多加之，为廉法，从。开立方除之，即高、深。各加差，即方径（一十四乘斛法，以乘粟为积尺。前一十四馀，今还元，一十四乘。为径自乘者，是一十一；方自乘者，是一十四。故并之为二十五。凡此方、圆二径长短不同，二径各自乘为方，大小各别。然则此堑方二丈九尺八寸，堑径三丈七寸，皆成方面。此应堑方自乘，一十四乘之；堑径自乘，一十一乘之，二十五而一，为隅幂，即方法也。但二隅幂皆以堑数为方面。今此术就省，倍小隅方，加差为矩袤，以差乘之为矩幂。一十一乘之，二十五而一。又差自乘之数，即是方圆之隅同有此数，若二十五乘之，还须二十五除。直以差自乘加之，故不复乘除。又须倍二廉之差，一十一乘之，二十五而一，倍差加之，为廉法，不复二十五乘除之也）。
　　还元，术曰：仓方自乘，以高乘之，为实。圆径自乘，以深乘之，一十一乘，一十四而一，为实。皆为斛法除之，即得容粟（斛法二尺五寸）。
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设方仓边长为:a,圆窖半径为r，高深相等=h

有：2r-a=0.9尺，a-h=29.8尺
a^2xh+(22/7)xr^2xh=2x23120.73x2.5=2x57801.825立方尺

最后化简为一元三次方程，求解过程很难，略。



　　假令有粟一万六千三百四十八石八斗，欲作方仓四、圆窖三，令高、深等，方面少于圆径一丈，多于高五尺，斛法二尺五寸，率径七，周二十二。问：方、高、径多少？
　　答曰：
　　方一丈八尺，
　　高深一丈三尺，
　　圆径二丈八尺。
　　术曰：以一十四乘斛法，以乘粟数，如八十九而一，为实。倍多加少，以乘少数，三十三乘之，八十九而一，多自乘加之，为方法。又倍少数，以三十三乘之，八十九而一，倍多加之，为廉法，从。开立方除之，即高、深。各加差，即方径（一十四乘斛法，以乘粟，为径自乘及方自乘数与前同。今方仓四，即四因十四。圆窖三，即三因十一。并之，为八十九，而一。此堑径一丈五尺，堑方五尺，以高为立方。自外意同前）。
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道理同上，略




　　假令有粟三千七十二石，欲作方仓一、圆窖一，令径与方等，方于窖深二尺，少于仓高三尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问：方、径、高、深各多少？
　　答曰：
　　方、径各一丈六尺，
　　高一丈九尺，
　　深一丈四尺。
　　术曰：三十五乘粟，二十五而一，为率。多自乘，以并多少乘之，以乘一十四，如二十五而一，所得以减率，余为实。并多少，以乘多，倍之，乘一十四，如二十五而一，多自乘加之，为方法。又并多少，以乘一十四，如二十五而一，加多加之，为廉法，从。开立方除之，即窖深。各加差，即方、径、高（截高五尺，堑径及方二尺，以深为立方。十四乘斛法，故三十五乘粟。多自乘并多少乘之，为截高隅积，即二廉，方各二尺，长五尺。自外意旨皆与前同）。
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道理同上，略。




　　假令有粟五千一百四十石，欲作方窖、圆窖各一，令口小底大，方面于圆径等，两深亦同，其深少于下方七尺，多于上方一丈四尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问：方、径、深各多少？
　　答曰：
　　上方、径各七尺，
　　下方、径各二丈八尺，
　　深各二丈一尺。
　　术曰：以四十二乘斛法，以乘粟，七十五而一，为方亭积。令方差自乘，三而一，为隅阳幂，以截多乘之，减积，余为实。以多乘差，加幂，为方法。多加差，为廉法，从。开立方除之，即上方。加差，即合所问（凡方亭，上下方相乘，又各自乘，并以乘高，为虚。命三而一，为方亭积。若圆亭上下径相乘，又各自乘，并以乘高，为虚。又十一乘之，四十二而一，为圆亭积。今方、圆二积并在一处，故以四十二复乘之，即得圆虚十一，方虚十四，凡二十五，而一，得一虚之积。又三除虚积，为方亭实。乃依方亭复问法，见上下方差及高差与积求上下方高术入之，故三乘，二十五而一）。
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用棱台或圆台体积公式，略。




　　假令有粟二万六千三百四十二石四斗，欲作方窖六、圆窖四，令口小底大，方面与圆径等，其深亦同，令深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各满中而粟适尽（圆率、斛法并与前同）。问上下方、深数各多少？
　　答曰：
　　方窖上方七尺，
　　下方二丈八尺，
　　深二丈一尺，
　　圆窖上下径、深与方窖同。
　　术曰：以四十二乘斛法，以乘粟，三百八十四而一，为方亭积尺。令方差自乘，三而一，为隅阳幂。以多乘之，以减积，余为实。以多乘差，加幂，为方法。又以多加差，为廉法，从。开立方除之，即上方。加差，即合所问（今以四十二乘。圆虚十一者四，方虚十四者六，合一百二十八虚，除之，为一虚之积。得者仍三而一，为方亭实积。乃依方亭见差复问求之，故三乘，一百二十八除之）。
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同上



　　假令有句股相乘幂七百六十五分之一，弦多于句三十六十分之九。问：三事各多少？
　　答曰：
　　句十四二十分之七，
　　股四十九五分之一，
　　弦五十一四分之一。
　　术曰：幂自乘，倍多数而一，为实。半多数，为廉法，从。开立方除之，即句。以弦多句加之，即弦。以句除幂，即股（句股相乘幂自乘，与句幂乘股幂积等。故以倍句弦差而一，得一句与半差之共乘句幂，为方。故半差为廉法，从，开立方除之。按：此术原本不全，今依句股义拟补十三字）。
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毕氏定理，求三角形三边长。



　　假令有句股相乘幂四千三十六五分之□，股少于弦六五分之一。问：弦多少？（按：此问原本缺二字，今依文补一股字，其股字上之□系所设分数，未便悬拟，今姑阙之）。
　　答曰：弦一百一十四十分之七。
　　术曰：幂自乘，倍少数而一，为实。半少，为廉法，从。开立方除之，即股。加差，即弦。
　　假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一，弦多股一、十分之一。问：股多少？
　　答曰：九十二五分之二。
　　术曰：幂自乘，倍多而一，为立幂。又多再自乘，半之，减立幂，余为实。又多数自乘，倍之，为方法。又置多数，五之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即股（句弦相乘幂自乘，即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一，得一股与半差□□□□□为方令多再自乘半之为隅□□□□□横虚二立廉□□□□□□□□□□□倍之为从隅□□□□□□□□□□□多为上广即二多□□□□□□□□□法故五之二而一）。
　　案：此术脱简既多，法亦烦扰，宜云幂自乘，多数而一，所得四之，为实。多为廉法，从。立方开之，得减差，半之，即股（幂自乘，与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差，故差而一，所得乃股弦并乘弦幂）。
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毕氏定理



　　假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三，句少于弦五十四五分之二。问：股多少？
　　答曰：六十八。
　　术曰：幂自乘，倍少数而一，为立幂。又少数再自乘，半之，以减立幂，余为实。又少数自乘，倍之，为方法。又置少数，五之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即句。加差，即弦。弦除幂，即股。
　　假令有股弦相乘幂七百二十六，句七、十分之七。问：股多少？
　　答曰：股二十六五分之二。
　　术曰：幂自乘，为实。句自乘，为方法，从。开方除之，所得又开方，即股（□□□□□□□□□□□□□□数亦是股□□□□□□□□□□□□为长以股□□□□□□□□□□□□得股幂又开□□□□□□□□□□□股北分母常……）
　　假令有股十六二分之一，句弦相乘幂一百六十四二十五分之十四。问：句多少？
　　答曰：句八、五分之四。
　　术曰：幂自乘，为实。股自乘，为方法，从。开方除之，所得又开方，即句。
缉古算经跋
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毕氏定理


　　按《唐书·选举志》制科之目，明算居一，其定制云：凡算学，孙子、五曹共限一岁，九章、海岛共三岁，张邱建、夏侯阳各一岁，周髀、五经算共一岁，缀术四岁，缉古三岁，记遗三等数皆兼习之。窃惟数学为六艺之一，唐以取士共十经。周髀家塾曾刊行之，余则世有不能举其名者。扆半生求之，从太仓王氏得孙子、五曹、张邱建、夏侯阳四种，从章邱李氏得周髀、缉古二种，后从黄俞邰又得九章。皆元丰七年秘书省刊板，字书端楷，雕镂精工，真世之宝也。每卷后有秘书省官衔姓名一幅，又一幅宰辅大臣，自司马相公而下俱列名于后，用见当时郑重若此。因求善书者刻画影摹，不爽毫末，什袭而藏之。但焉得海岛、五经、缀术三种，竟成完璧，并得好事者刊刻流布，俾数学不绝于世，所深愿也。
康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识
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孙子算经学一年，那种小学水平的书，唐朝人居然要研究一年。
九章难了点，加上海岛算经，共学三年，对唐人来讲，是个吃力的活。
周髀、五经共学一年，辑古学三年，靠！


完全是小儿科，求体积不过是简单的初中几何，后面几道三角形求边长，都是小学生的水平！
其中几道题涉及到了一元三次方程求解，作者完全是胡扯蛋！




《缉古算经》，一卷，唐初王孝通撰。成书年代约在西元七世纪初期，是现有传本的古算书中，继《九章算术》之后具有较高水平的最重要的算经之一。《缉古算经》原名《缉古算术》，唐初纳入国子监学馆明算科学习书目之后，改名《缉古算经》。

王孝通的生卒年代不详，生平事迹世人所知也不多。据《上缉古算术表》，作者自称当时他已是“迄将皓首”之人。王孝通上表的时间是在武德九年（公元626年）之后不久，可推测他大约生于北周武帝年间（561—579）。王孝通在隋朝做过官，唐初奉敕校勘过傅仁均历。他是唐初的算历博士，官至通直郎太史丞。尝于武德六年(623)、九年(625)两次校勘傅仁钧所编“戊寅元历”，驳正错误三十余条。所撰《缉古算术》，包括二十个问题，除第一题是计算月亮方位的天文历法方面的问题外，第二至五题是修筑台、堤、河道等计算问题，第六至十四题是各种粮仓、粮窖的修筑问题，第十五至二十题都是和直角三角形有关的所谓句股问题。现传本中(明毛晋汲古阁影抄南宋本)，第十七、十八、十九、二十等四问题已残缺不全。 《缉古算术》的编撰年代不详，据专家考证应在武德九年之前。

《缉古算经》最重要的内容，是关于修筑两端宽狭不一，且高低不同的堤坝之类的问题。孝通从对几何图形的认识列出系数一元三次方程式，并完成所谓“带从开立方”解法。全书二十个问题中，列出的三次方程式多达二十八个。惟所列方程的系数和解出的根，都限于正数。到十一至十三世纪，中国数学在求解方程的方法方面又有显著的进步，不但可求解任意商次方程，系数亦不限于正数，更有完整的列方程方法。