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汉代以前，圆周率一直采用“径一周三”。这一数值很不精确。随着生产和科学的发展，汉代一些学者开始探求比较精确的圆周率值。
从新莽嘉量可得出西汉末刘歆所采用的圆周率为3.1547，东汉末的张衡则采用π=≈3.1623，三国时期吴人王蕃得出π=3.1556的数值。但他们求圆周率，都是以经验为基础，没有科学的论证。
魏晋之际，杰出的数学家刘徽创立了“割圆术”，他用这一方法分割到圆内接正192边形时，得出π值等于3.14124，后来又求得圆内接正3072边形，得出π值等于3.1416。
祖冲之并不满足于刘徽的结果，他希望求得更精确的圆周率值。要推算更精确的圆周率值，刘徽的“割圆术”是个很好的方法，祖冲之要采用刘徽的方法去超越刘徽的结果，工作量极其巨大:要从圆内接正6边形、12边形、24边形，一直算到12288边形和24576边形，要分别算出它们的边长和面积。
这中间要进行系列的加减乘除和乘方开方运算，涉及的运算步骤有一百多步，有效数字高达十七八位。而在当时，人们还不会用纸和笔进行列式演算，所有这些计算都是通过布列算筹而得以完成的。可以想像这在当时是需要何等的精心和超人的毅力，祖冲之经过艰巨的运算，终于求得了比刘徽的结果精确度更高的圆周率值。他计算出圆周率的准确值介于3.1415926和3.1415927之间，从而首次把圆周率值准确推算到了小数点后7位。
他还明确指出了圆周率的上限和下限，准确说明了圆周率的取值范围，实际上确定了其结果的误差范围。祖冲之的结果是在当时世界数学史上最先进的成就，直到15世纪，阿拉伯数学家卡西和16世纪法国数学家F·韦达才得出更精确的圆周率值。
祖冲之还给出了两个用分数形式表示的圆周率近似值:约率π=22/7；密率π=355/113。密率是分子分母都在1000以内的分数形式的圆周率最佳近似值。该数值的分数表现形式直到16世纪才被德国人V·奥托和菏兰人A·安托尼兹重新发现，在西方数学史上，π=355/113常被称为“安托尼兹率”。鉴于密率是祖冲之在世界上最先提出来的，日本著名数学史家三上义夫曾建议把“密率”称作“祖率”。
“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。又设开差冪，开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。”-《隋书·律历上》
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隋书是唐朝魏征、长孙无忌主编，多人参与编写，其中的天文、律历志是唐朝天文学、数学家李淳风所写，但李淳风自己明显不知道355/113这个密率的存在。
唐李淳风等对刘徽注本九章算术作了一些解释，原有刘注意义十分明确的不再补注，盈不足、方程二章就没有他们的注释。九章算术所有与圆面积有关的问题，都取圆周率三计算，刘徽注以为应取五十分之一百五十七，李淳风等补注认为可以用七分之二十二计算，这是对的。但七分之二十二是祖冲之的所谓「约率」，而李淳风等引用此率，称它为「密率」。后世人误认七分之二十二为「密率」的很多，这是李注的谬种流传。
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李批评刘徽的注解，认为刘徽所计算的157/50的圆周率不准确，真正的密率应该是22/7,完全不知道祖冲之355/113的密率，由此可见，隋书中的那一段，根本不是李淳风所写，而是后人添加进去的。
Madhava of Sangamagramma
1350 - 1425
Madhava was a mathematician from South India. He made some important advances in infinite series including finding the expansions for trigonometric functions.
13 Madhava 1400 11 3.14159265359
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1400年，印度数学家把圆周率推算到了小数点后11位。
Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi
1390 - 1450
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Jamshid al-Kashi was an Islamic mathematician who published some important teaching works and anticipated Stevin's work on decimals.
14 Al-Kashi 1430 14 3.14159265358979
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1430年，伊斯兰数学家Jamshid al-Kashi把圆周率推算到了小数点后14位。
而日本数学史家三上义夫，号称在东京一家图书馆见过有一本1530年左右印刻的隋书，其中有祖冲之圆周率的记载，但这家图书馆在哪里，叫什么名字根本不提，也没有影印照片为证，这个证言的可信性等于零。
《南史·祖冲之传》 卷七十二 列传第六十二
祖冲之字文远，范阳遒人也。曾祖台之，晋侍中。祖昌，宋大匠卿。父朔之，奉朝请。
冲之稽古，有机思，宋孝武使直华林学省，赐宅宇车服。解褐南徐州从事、公府参军。
始元嘉中，用何承天所制历，比古十一家为密。冲之以为尚疏，乃更造新法，上表言之。孝武令朝士善历者难之，不能屈。会帝崩不施行。
历位为娄县令，谒者仆射。初，宋武平关中，得姚兴指南车，有外形而无机杼，每行，使人于内转之。升明中，齐高帝辅政，使冲之追修古法。冲之改造铜机，圆转不穷，而司方如一，马钧以来未之有也。时有北人索驭驎者亦云能造指南车，高帝使与冲之各造，使于乐游苑对共校试，而颇有差僻，乃毁而焚之。晋时杜预有巧思，造欹器，三改不成。永明中，竟陵王子良好古，冲之造欹器献之，与周庙不异。文惠太子在东宫，见冲之历法，启武帝施行。文惠寻薨又寝。
转长水校尉，领本职。冲之造安边论，欲开屯田，广农殖。建武中，明帝欲使冲之巡行四方，兴造大业，可以利百姓者，会连有军事，事竟不行。
冲之解锺律博塞，当时独绝，莫能对者。以诸葛亮有木牛流马，乃造一器，不因风水，施机自运，不劳人力。又造千里船，于新亭江试之，日行百馀里。于乐游苑造水碓磨，武帝亲自临视。又特善算。永元二年卒，年七十二。着易老庄义，释论语、孝经，注九章，造缀述数十篇。子暅之。
暅之字景烁，少传家业，究极精微，亦有巧思。入神之妙，般、倕无以过也。当其诣微之时，雷霆不能入。尝行遇仆射徐勉，以头触之，勉呼乃悟。父所改何承天历时尚未行，梁天监初，暅之更修之，于是始行焉。位至太舟卿。
暅之子皓，志节慷慨，有文武才略。少传家业，善算历。大同中为江都令，后拜广陵太守。
侯景陷台城，皓在城中，将见害，乃逃归江西。百姓感其遗惠，每相蔽匿。广陵人来嶷乃说皓曰：“逆竖滔天，王室如毁，正是义夫发愤之秋，志士忘躯之日。府君荷恩重世，又不为贼所容。今逃窜草间，知者非一，危亡之甚，累棋非喻。董绍先虽景之心腹，轻而无谋，新克此州，人情不附，袭而杀之，此一壮士之任耳。今若纠率义勇，立可得三二百人。意欲奉戴府君，剿除凶逆，远近义徒，自当投赴。如其克捷，可立桓、文之勋；必天未悔祸，事生理外，百代之下，犹为梁室忠臣。若何？”皓曰：“仆所愿也，死且甘心。”为要勇士耿光等百余人袭杀景兖州刺史董绍先，推前太子舍人萧勉为刺史，结东魏为援。驰檄远近，将讨景。景大惧，即日率侯子鉴等攻之。城陷，皓见执，被缚射之，箭遍体，然后车裂以徇。城中无少长，皆埋而射之。
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南齐书-祖冲之传，是南梁萧子显（487年--537年）所写，和祖冲之（429-500）几乎同时代，整篇传记没有一个字提到圆周率，历法、指南车、千里船等等发明，都一字不漏详细记载。
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朱载堉已经是明朝后期的人，依然不知道祖冲之的圆周率。
他自己计算的圆周率是：sqrt2/0.45=3.14269
隋书里如果真有祖冲之的密率，不至于这个博学多才的朱家后人一点不知道。
这个例子发生在乾嘉学派大儒钱大昕、阮元以及杰出数学家李锐身上。钱大昕先是从《隋书律历志》，获知祖冲之的圆周率π值的估计：
古之九数，圆周率三圆径率一，其术疏舛，自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末南徐州从事史祖冲之更开密率，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三（刻本作二，误）丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间，密率圆径一百一十三，圆周三百五十五，约率圆径七，周二十二。又设开差幕、开差立，兼以正圆参之，指要精密，算氏之最者也。
圆周径率，自刘徽、祖冲之以来，虽小有同异，大要皆径一周三一四而已。溉亭独创为三一六之率，与诸家之说迥殊。余考秦九韶《数学九章》「环田三积术」，其求周以径幂进位为实，开方为圆积，是九韶亦以三一六为圆率，与溉亭所创率正同，盖精思所到，闇合古人也。江宁谈教谕秦，今之算学名家，曾作一丈径木板，以篾尺量其周，正得三丈一尺六寸奇，以为溉李之说，至当不可易也。
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南宋数学家秦九昭认为圆周率=3.16，明朝数学、音律学家朱载堉认为圆周率=sqrt（2）/0.45=3.1427
一直到清朝，还有数学家用测量的办法测量圆周率=3.16，直到这时，清朝数学家钱大昕才第一次引用了隋书中的祖冲之圆周率！
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《隋书》最早刻于北宋天圣二年(1024)，已失传。另有南宋嘉定间刻本残卷六十五卷及南宋另一刻本残存五卷传世。元朝大德年间饶州路刻本是比较好的版本，涵芬楼百衲本《隋书》即据此影印。清乾隆年间武英殿刊本是较为流行的版本。1973年中华书局影印的校点本即依据以上数种版本校勘整理而成，是目前最好的通行本。
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宋朝、元朝的刻本都是残缺不全，乾隆年间的武英殿刻本最全、最流行，篡改的时间就是此时！
可以肯定，乾隆年间武英殿翻刻隋书时，添加进去了这么一段话。
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355/113的圆周率，是欧洲数学家1570年左右发现，传入中国应该是明朝末期的事。
Ptolemy (c. 150 AD) 3.1416
Zu Chongzhi (430-501 AD) 355/113
al-Khwarizmi (c. 800 ) 3.1416
al-Kashi (c. 1430) 14 places
Viète (1540-1603) 9 places
Roomen (1561-1615) 17 places
Van Ceulen (c. 1600) 35 places
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1600年，欧洲人已经把圆周率算到小数点后35位数，355/113的密率也早出来了。
这才为乾隆时的武英殿刻本造假，提供了数据来源。
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《隋书》最早刻于北宋天圣二年(1024)，已失传。另有南宋嘉定间刻本残卷六十五卷及南宋另一刻本残存五卷传世。元朝大德年间饶州路刻本是比较好的版本，涵芬楼百衲本《隋书》即据此影印。清乾隆年间武英殿刊本是较为流行的版本。1973年中华书局影印的校点本即依据以上数种版本校勘整理而成，是目前最好的通行本。
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南宋嘉定刻本只存65卷（列传第三十），另一南宋刻本只存五卷（肯定没有卷十六），元朝大德九路刻本只有十九至二十三，共计五卷，也没有卷十六。
现在的隋书都是以乾隆武英殿刻本翻印，这就是戴震篡改过的版本。
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《隋书》最早付梓应在宋天圣二年（1024年），天圣二年刊刻《隋书》时，纪传题魏征撰，志题长孙无忌撰，以后各本多从此说，《四库全书总目》提要等则将全书题为魏征撰。国家图书馆藏一部宋刻残本，共5卷，为李盛铎旧藏，李跋称之为南宋建阳所刻，学界对此普遍认同，习称宋中字建本。卷八十五末有天圣二年隋书刊本原跋，可以视为天圣二年刊刻《隋书》的佐证。然天圣本今已不传，国家图书馆收藏的这部《隋书》为宋刻递修本，全书存六十五卷：一至九、十三至十五、十九至二十六、三十二至七十六，从所避宋讳看，应刊刻于南宋之初。学界习称小字本。此本为内阁大库散出之书，著名藏书家傅增湘先生曾经眼于宝应刘翰臣家，原为蝴蝶装，傅氏称之“厚茧纸禙封，黄绢为衣，尚是宋代宫装，惜虫蚀过甚，版心尽失，不可复治，爰命工重加装订，别选佳纸为衣，而以蜕衣附焉。”后已改为线装。
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上面帖子有个小失误。
南宋刻本有两种，一种只存五卷，肯定没有卷十六。
一种现存六十五卷（不是只有第六十五卷），全书共八十五卷，这本南宋刻本保留有1-9卷，13-15卷，19-26卷，32-76卷。
关键的卷十六 律历上 还是没有。
由此可以看出，南宋的两种隋书刻本加上元大德九路的隋书刻本，都不存在卷十六。
由此也可以看出，祖冲之圆周率一段最早就是出现在武英殿-四库全书刻本里。
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隋书八十五卷 （唐）魏徵等撰 宋刻本 李盛铎 袁克文跋 国家图书馆
存五卷（二十四至二十五、八十三至八十五）
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南宋建阳刻本的隋书现存五卷，是24-25，83-85，没有卷十六。
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有人提到汲古阁版本隋书，这本隋书是日本人1905年从大清国购入的所谓汲古阁版本隋书，实际上是一本伪造的古书，是以四库全书版本为蓝本伪造。
这本隋书现存于早稻田大学图书馆。
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早稻田大学收藏汲古阁版隋书
红色印章上说明：明治三十八年八月（1905年8月）诸同仁悼山田一郎君集资所购以赠
四库全书的编纂写是1772-1782年，据此已经100多年了。
黑色图章：琴川毛鳳苞氏審定宋本
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中国历史上的pi：
《周髀算经》：周三径一，即pi=3
汉朝，刘歆（约公元前50—公元23年），pi=3.1547
张衡（78-139），pi有几个近似值：pi = 730/232 = 3.1467，pi = 92/29 = 3.172413，pi = 根号10 = 3.162
汉朝，蔡邕，pi = 3.125
魏晋，刘徽（3世纪），pi = 157/50 = 3.14，pi=3927/1250=3.1416
东晋与南北朝，何承天（370—447），pi = 3.1429或3.1432
三国，王蕃（228—259），pi= 142/45 = 3.155
！！！祖冲之（429—500），pi = 22/7，pi = 355/133，pi=3.141592
宋朝，秦九韶，pi = 根号10 = 3.162
明朝中叶，陈尽谟，pi = 3.1525
明朝，朱载堉，首创全世界通用的音律之十二平均律，pi = 3.1427
明朝，邢云路（明神宗年间），pi=3.1213，pi=3.126
明朝，方以智（1611—1671）， pi = 52/17 = 3.0588，
明朝，程大位，被尊为算盘之神《算法统综》的作者，pi = 25/8 = 3.125
清朝，王元启（1714—1786），钱塘（康熙年间），pi = 根号10 = 3.162
清朝，顾长发，袁士龙，庄亨阳，pi = 3.125
注：我们说某某人用了某个数字作为圆周率，并不是说此人认定圆周率就是那个数字，上面列举的数字有很多只是说某人曾经使用某个数作为圆周率而已。有的人在不同的场合用的圆周率可能是不同的。
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宋朝李籍的《九章算术音义》和王应麟的《玉海》、赵友钦《革象新书》也引了祖冲之的圆周率
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有人提出这个证据，但分析一下就发现了问题，这三本书现存的版本都是戴震编纂的四库全书版本，真实性如何，已经不言而喻了。
