海岛算经
《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。
《海岛算经》简介
《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。唐初开始单行，体例亦是以应用问题集的形式。研究的对象全是有关高与距离的测量，所使用的工具也都是 利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。有人说是实用三角法的启蒙，不过其内容并未涉及三角学中的正余弦概念。所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远。此卷书被收集于明成祖时编修的永乐大典中，现保存在英国剑桥大学图书馆。刘徽也曾对九章算数重编并加以注释。全书共9题，全是利用测量来计算高深广远的问题，首题测算海岛的高、远，故得名。《海岛算经》是中国最早的一部测量数学事着 ，亦为地图学提供了数学基础。
作者简介
刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正 刘徽负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作。
《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。
刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。
《海岛算经》简介
《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。唐初开始单行，体例亦是以应用问题集的形式。研究的对象全是有关高与距离的测量，所使用的工具也都是 利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。有人说是实用三角法的启蒙，不过其内容并未涉及三角学中的正余弦概念。所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远。此卷书被收集于明成祖时编修的永乐大典中，现保存在英国剑桥大学图书馆。刘徽也曾对九章算数重编并加以注释。全书共9题，全是利用测量来计算高深广远的问题，首题测算海岛的高、远，故得名。《海岛算经》是中国最早的一部测量数学事着 ，亦为地图学提供了数学基础。
作者简介
刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正 刘徽负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作。
《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。
刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
《海岛算经》的九道题
回复删除（1）今有望海岛，立两表齐，高三丈，前後相去千步，令後表与前表相直。从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合。从後表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。
术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表数。
[翻译：假设测量海岛,立两根表高均为5步,前后相距1000步,令后表与前表在同一直线上,从前表退行123 步,人目著地观测到岛峰,从后表退行127步,人目著地观测到岛峰,问岛高多少 岛与前表相距多远？]
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这是几何里面很简单的比例定理。
设前表距离山的中心距离为x，山高为h，人眼高度忽略不计（这是原题不正确的地方）。
有方程：
5/h=123/（123+x）
5/h=127/（127+1000+x）
所以解得：x=30750步=102.5里；h=1255步=4里55步
这道题极为简单，初中一年级学生既可解，用的是最简单的三角形边长等比例定理。
实际上题目忽略了人眼的高度，求解得到的只是到山的中心距离，而不是到山脚的距离。
（2）今有望松生山上，不知高下。立两表齐，高二丈，前後相去五十步，令後表与前表参相直。从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端参合。又望松本，入表二尺八寸。复从後表却行八步五尺，薄地遥望松末，亦与表端参合。问松高及山去表各几何？答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。
术曰：以入表乘表间为实。相多为法，除之。加入表，即得松高。求表去山远近者：置表间，以前表却行乘之为实。相多为法，除之，得山去表。
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一样的的题目，设山高为h1，松高为h2，距离山中心为x，有如下方程：
3/2=（3+x）/（h1+h2）
3/（2-0.28）=（3+x）/h2
5.3/2=（5.3+3+x）/(h1+h2)
求解过程略
（3）今有南望方邑，不知大小。立两表东、西去六丈，齐人目，以索连之。令东表与邑 东南隅及东北隅参相直。当东表之北却行五步，遥望邑西北隅，入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表一十三步二尺，遥望邑西北隅，适与西表相参合。问邑方及邑去表各几何？答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。
术曰：以入索乘後去表，以两表相去除之，所得为景长；以前去表减之，不尽以为法。置後去表，以前去表减之，余以乘入索为实。实如法而一，得邑方。求去表远近者：置後去表，以景长减之，余以乘前去表为实。实如法而一，得邑去表。
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设表距离方邑距离为x，方邑边长为y，有方程：
22.65/y=30/（30+x）
60/y=80/（80+x）
解得：x=4.15里=4里45步；y=3.146里
（4）今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺。从勺端望谷底，入下股九尺一寸。又设重矩于上，其矩间相去三丈。更从勺端望谷底，入上股八尺五寸。问谷深几何？答曰：四十一丈九尺。
术曰：置矩间，以上股乘之，为实。上、下股相减，余为法，除之。所得以勾高减之，即得谷深。
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设沟深为x，距离沟底距离为y有方程：
6/9.1=（6+x）/y
6/8.5=（6+x+30）/y
解得：x=419尺；y=644.6尺
（5）今有登山望楼，楼在平地。偃矩山上，令勾高六尺。从勾端斜望楼足，入下股一丈二尺。又设重矩於上，令其间相去三丈。更从勾端斜望楼足，入上股一丈一尺四寸。又立小表於入股之会，复从勾端斜望楼岑端，入小表八寸。问楼高几何？答曰：八丈。
术曰：上、下股相减，余为法；置矩间，以下股乘之，如勾高而一。所得，以入小表乘之，为实。实如法而，即是楼高。
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设楼高为x，山中心距离楼为y，矩所在处高为z，有方程：
6/12=（6+z）/y
6/11.4=（6+30+z）/y
0.8/x=6/（6+z）
解过程略
（6）今有东南望波口，立两表南、北相去九丈，以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈，薄地遥望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表里一丈二尺。又却行，後去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸，与南表参合。问波口广几何？答曰：一里二百步。
术曰：以後去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表减之，余以为法；复以前去表减後去表，余以乘入所望表里为实，实如法而一，得波口广。
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设表距离波口为x，波口宽为y，前表平行线距离波口北岸距离为z，有方程：
6/（6+x）=4.02/z
6/（6+x）=1.2/（z+y）
13.5/9=（13.5+x）/（z+y）
方程解过程略
（7）今有望清渊下有白石。偃矩岸上，令勾高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又设重矩於上，其间相去四尺。更从勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。问水深几何？答曰：一丈二尺。
术曰：置望水上、下股相减，余以乘望石上股为上率。又以望石上、下股相减，余以乘望水上股为下率。两率相减，余以乘矩间为实；以二差相乘为法。实如法而一，得水深。
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设矩高为x，距离水岸为y，水深为h，有方程：
3/4.5=（3+x）/y
3/2.4=（3+x+h）/y
3/4=（3+x）/（y+4）
3/2.2=（3+x+h）/（y+4）
方程有问题，三元一次方程，三个方程式即可解，多给了一个，而且还矛盾。
（8）今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令勾高一丈二尺。从勾端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高岩，北却行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更从勾端斜望津南岸，入上股二丈二尺。问津广几何？答曰：二里一百二步。
术曰：以勾高乘下股，如上股而一。所得以勾高减之，余为法；置北行，以勾高乘之，如上股而一。所得以减上登，余以乘入股里为实。实如法而一，即得津广。
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设津宽为w，距离山中心距离为y，山高为h有方程：
12/23.1=（12+h）/（w+y）
12/18=（12+h）/y
12/22=（12+51x6+h）/（w+y+22x6）
求解过程略
（9）今有登山临邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端与邑东南隅及东北隅参相直。从勾端遥望东北隅，入下股一丈二尺。又施横勾於入股之会，从立勾端望西北隅，入横勾五尺。望东南隅，入下股一丈八尺。又设重矩於上，令矩间相去四丈。更从立勾端望东南隅，入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何？答曰：南北长一里百步；东西广一里三十三步、少半步。
术曰：以勾高乘东南隅入下股，如上股而一，所得减勾高，余为法；以东北隅下股减东南隅下股，余以乘矩间为实。实如法而一，得邑南北长也。求邑广：以入横勾乘矩间为实。实如法而一，即得邑东西广。
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和上题一样，设邑南北宽为x，东西宽为y，山高为h，山中心距离邑为l，有方程：
3.5/12=（3.5+h）/（l+x）
5/12=y/l
3.5/18=（3.5+h）/l
3.5/17.5=40/（l+x+40）
很简单的几何问题，主要问题在于古题叙述的很不清楚。
四元一次方程，解题过程略。
海岛算经里的9个问题全是一样的，都是使用几何里的等比定理。
回复删除刘徽研究了9个问题，却没有指出做题的依据是什么，找出数学公式来！
这9个问题，只要具备初等几何常识的人都可以解，大致等于初中一年级水平。
9个问题分成两个方法：
回复删除1：用两根表（木竿），前后与被测物体成一条直线，物体和表端的引线入地，测出距离表的距离，得到两次数据带入公式求解。
这个办法只能测量高的物体，如山峰，平行的物体距离无法测量。
2，用一根表，前后测两次，第二次向后水平移动数十步，用这个方法可以测出物体的距离和高度。
这个办法必须站在高处（如山峰）测量低处（如谷底、涧底），测量方法有局限性。
实际上利用几何中的三角形性质，只要知道一条边长，再测出两个内角，即可算知距离，远处物体高度以此类推，求得上下两个距离，再测出夹角，即可算出远处高度。
回复删除这种方法需要精确的测量角度，支那古人对角度一无所知，无法利用这个性质！
海岛算经里的测量法，必须利用高度差（重差）才能进行。
回复删除15：今有木去人不知远近。立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直。从后 右表望之，入前右表三寸。问木去人几何？答曰：三十三丈三尺三寸少半寸。
术曰：令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一。
〔此以入前右表三寸为句率，右两表相去一丈为股率，左右两表相去一丈为 见句。所问木去人者，见句之股。股率当乘见句，此二率俱一丈，故曰自乘之。
以三寸为法。实如法得一寸。〕
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97/100=（x-100）/x
解得：x= 3333又1/3寸=33又1/3丈
“入前右表三寸”是右前表的右侧投影。
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九章算术里，立四根表，没有高度差时也可测量，刘徽在海岛算经里没有列出这种方法。