评“五曹算经”

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　《五曹算经》是“算经十书”的一种，一般认为由北周甄鸾所作，李淳风等为之作注。

简介

　　《五曹算经》 ，北周甄鸾所著。甄鸾通历法，曾编《天和历》,于566年颁行。“五曹”是指五类官员。其中"田曹"所收的问题是各种田亩面积的计算，“兵曹”是关于军队配置、给养运输等的军事数学问题,“集曹”是贸易交换问题，“仓曹”是粮食税收和仓窖体积问题，“金曹”是丝织物交易等问题。全书共收67个问题，其数学内容没有超出《九章算术》的内容。其南宋刻本，收藏于北京大学图书馆。

　　唐代史料中多有“《五曹》、《孙子》等十部算经”一类说法，表明此书是“算经十书”中较受唐代官方重视的一部算书。作为唐宋官方数学教育的教材，《五曹算经》代有刊刻传抄，受到历朝很多数学家的重视，其历史影响不可低估。另一方面，与十部算经中其他算书相比，《五曹算经》的编排和卷名更显著地表明它服务于相应的社会经济制度。因此，对《五曹算经》的研究有助于我们了解中国数学史及相关社会背景问题。然而，由于此书所载算题“解题方法都很浅近，数字计算不须要分数的概念”，而被视为“稍为有些落后的”，从数学史“内史”角度来看，学者们容易认为其研究价值不高。此外，该书分为“田曹”、“兵曹”、“集曹”、“仓曹”、“金曹”五卷，每卷标题后又都有李淳风所作题解，似乎很容易就能把各卷算题同当时行政事务对应起来。所以，以往的数学史论著往往仅注意它在算法上粗略的一面。对于算题的社会背景，论说也很简略粗疏，还出现了一些误解。


作者简介

　　甄鸾，字叔遵（535-566），无极（今河北省无极县）人，北周数学家，官司隶校尉、汉中太守。信佛教，擅长于精算，制天和历法，于天和元年（566年）起被采用颁行。曾注释不少古算书，著有《五经算术》等。 另有周天和年历一卷,《七曜算术》二卷。

　　所谓《算经十书》，除《缀术》及后边的《缉古算经》外，都有他撰注的记载。他所撰的《五曹算经》、《五经算术》和《数术记遗》，今有传本。《五曹算经》是一部为地方官员撰写的应用数学书，内容浅近。《五经算术》对于《尚书》、《诗经》、《周易》、《周官》、《礼记》、《论语》等经籍中涉及数学、天文历法的内容，作了注释，在数学上并没有创新。《数术记遗》题“汉徐岳撰，甄鸾注”。近人认为此书是甄鸾自撰自注而伪托徐岳的作品，也有的学者认为确为徐岳撰、甄莺注。书中记载三种进位制度和14种记数法，其中“积算”即筹算，而“珠算”虽不是元、明之后的珠算盘，但开后者之先河，似无可疑。“计数”则介绍了一种别于古代传统的测望方法。其余算法则大都脱离实际。他对《周髀算经》的注释，水平不高，而关于其他算经的注释，都已失传。


《五曹算经》与北朝土地制度

　　北魏初年推行“计口授田”制，实际上是一种民屯，其实施办法可见于太平真君五年（444年）下令“有牛家与无牛家一人种田二十二亩，偿以私锄功七亩，如是为差；至与小、老无牛家种田七亩，小、老者偿以锄功二亩。皆以五口以下贫家为率。各列家别口数，所劝种顷亩，明立簿目”，太和元年（477年）又规定“一夫制治田四十亩，中男二十亩。”这种“授田”制度可以追溯到战国时期的魏、秦等国。《九章算术》记载了多种形状田地的面积计算方法，与春秋战国时代统计土地数量、收取地租、大量开垦土地、土地买卖等活动需要测量多种形状的土地面积有密切的关系，也与当时的授田制有一定的关系。由于当时数学有理论化的倾向，这就引导人们追求方法的普遍性并使获得普遍性和精确性高的算法成为可能，而在当时适应变法求强的各种要求严格的法律和规章制度，也使寻求精确度高的算法成为必要因此《九章算术》有多种表述上具有普遍性、精度较高的田地面积计算，是不奇怪的。晋代也颁布了诸如“男子一人占田七十亩，女子三十亩”之类占田、课田等土地制度。但东汉至六朝时期，国家无力遏制豪族兼并土地，行政工作中计算土 《五曹算经》地面积的需求就降低了，这一时期对土地的丈量更多体现在买卖田地的契约中，但在晋代以前，地契中对土地各项信息的记录并不规范，各项信息往往记载非常模糊。故从实用角度而言，成书于晋代的《孙子算经》并无详细记载田地面积的计算方法的迫切需要。同样理由也适用于反映5世纪前期中原地区社会经济状况的《张丘建算经》，因为北魏前期授田制基本只推行于边境及首都平城附近。但从北魏开始，国家控制土地的力量又增强了，由此就能更有力地推行朝廷颁布的土地条令。在这一背景下，有的算书中计算田地面积的题目应当会重新增多。不过“授田”制更多的是对前朝制度的继承，将田地面积计算方法恢复到《九章算术》的数量或许就够了，为什么《五曹算经》中会增加这么多描述土地形状的术语和相应的算法呢？

　　这种情形应该与均田制有密切关系。均田制初行于北魏，后代累有采用，到唐中后期废止。均田制以长期战乱造成的大量无主田、荒地为前提，虽少有触犯大官僚和士家大族的利益，但为广大下层农民获得合法土地提供了一定的保证，而且涉及的地域甚广。北魏均田制的标志性事件是太和九年（485年）颁布均田令，规定了农民在各种情况下受露田、桑田的数量，其中数字最大的是“诸男夫十五以上，受露田四十亩，妇人二十亩，奴婢依良。丁牛一头受田三十亩，限四牛。所授之田率倍之，三易之田再倍之，以供耕休及还受之盈缩”，男夫受“桑田”二十亩。而在人多地少的“狭乡”，如农民不愿迁移，所受田地数量就会少些。由于是政府主持，地方籍帐中出现大量授田及还田的记录，都对各块土地的标的、“四至”及面积有详细描述。算书中对田地面积计算法求多求全，与这种由国家对土地管理的增强带来的规范化不无关系。另一方面，在均田制下，农民死后或年逾七十原则上要将所受露田归还给政府，实际操作中往往采取更灵活的方法，如后代可以继承前代所受桑田作为露田（“倍田”），从而使部分田地的还受在家庭内部解决等等。但无论还田采取何种形式，对于重新受田，官府依然要在户籍中进行记录。而既然对田地的各项信息都要详细记载，那么也应对田地面积进行丈量。这与此前少有涉及还田的土地制度相比，丈量田地面积不但在工作量上大大增加，而且成为地方行政部门的一项日常工作。

　　均田制对于土地面积的计算带来的具体影响，可概括为两方面。一方面，对土地面积的计算更频繁了，最初可能只需把大块土地划分成小块授予农民，太和九年令规定民户所受田地“不得隔越他畔”，即每户所受田地应连成一片，但由于这些田地带有桑田、露田等不同性质，往往又被细分为若干段。经过农民还田官府再授田，或经过多次后代分割继承前代所分桑田等过程，这些小块土地可能会变得越来越细碎，而每块土地的面积都要被丈量出来，因此不仅开始时计算量大，而且频繁的计算会长期出现。另一方面，由于土地被划分为细碎的小块，由于地貌等原因，就容易出现各种形状不规则的田地。

　　为应付均田制带来的划分、丈量田地面积的繁重计算量，需要编辑相应的算书，提供形状足够多的田地的计算法，以便地方官吏碰到某种形状的田地，就能马上依术计算。《五曹算经》“田曹”卷当以为适应这种需要而编辑的算书为原型。田曹共有19个问题涉及19块田，其中面积超过1顷（100亩）的只有3块（最大的2顷60亩奇100步）。其他的田地中，超过北魏实行均田法时一个适龄男性劳动力所受桑田20亩的只有两块，大于10亩小于20亩的田5块，大于1亩小于10亩的田地6块，低于1亩的田地3块，其中最小的为63步。考虑到北魏时还有一些大户、官员受田都以顷计，《五曹算经》中出现3块超过一顷的田地是可以理解的。余下的16块田地，最大的也只有63亩奇80步，只比一对壮年夫妇所受露田之和60亩稍多一点，还不及一对有牛夫妇所应受的露田数；次大的只有23亩奇150步，也只略多于一壮年妇女所应受露田额20亩、而远小于一个壮年男子所应受的露田额40亩。其他的14块田都小于20亩。如果根据距离《五曹算经》编成年代更近的西魏大统十三年瓜州籍帐，则可看出民户所受每段田地面积都小于20亩，大多数都在10亩以下，而“田曹”卷的19块田中20亩以下面积的田地就有14块，从题目涉及数量上看，这些算题和相应的方法适合于官吏进行学习并付诸应用。同时“田曹”卷收集了形状种类尽可能多的田地计算法，可以满足北魏授田与均田法需要关于各种形状田地的面积算法之要求。范围广泛、频繁进行的计算工作，也使得所需要的大量官吏无暇在精细算法上下功夫，而均田制在北朝还属初创阶段，由于战乱又时废时兴，在工作中难免带有一些粗放和原始的特点，因此《五曹算经》中有些算法不太精确，是可以理解的。

　　下面，我们将对这些精确度不高的算法进行具体讨论。

　　1. 由半对角线求正方形田的面积。“田曹”卷第11题，由正方形田的中心到一个顶点的距离（对角线之半）求其面积，其方法为先求对角线，再求正方形的边长，然后自乘。这个问题与《孙子算经》卷上第14题的题设、数字和解法都相同，只是文字稍异。在《九章算术》的“少广”章，专门介绍了开方术，可由面积求出正方形的边长。《孙子算经》卷上第19题和《张丘建算经》卷中的倒数第4题也是由方田（正方形）面积用开方法求其边长。这种利用开方的方法原则上可以求出精确值。但《五曹算经》和《孙子》在求边长时，没有用到开方术，而是根据边长与对角线之比为5:7的近似比率，用比例方法求出边长。对于这类问题，古代可能想到的精确算法有两种。一种是利用勾股定理，由对角线用开方法求出边长，再由边长自乘，得到面积。另一种是利用出入相补原理，可以得知对角线上的正方形面积（对角线的平方）等于两个边长上的正方形的面积（边长的平方）之和，因此可以由对角线自乘，再除以2得到这块田的面积。《五曹》和《孙子》所用算法求出的面积（一顷八十三亩奇一百八十步）比实际面积（一顷八十亩奇十八步）大三亩奇一百六十二步。不使用早几百年就已出现，且时代稍早的算书、甚至同一部算书中仍在使用的精确算法，这种做法说明《五曹》和《孙子》记载的是一种更原始的算法，而其编者并没有根据早已改进的算法来纠正它。我们上面所述的第二种精确算法，需要较多的抽象化和理论化方面的考虑，不容易想到。第一种精确算法需要用到开方，无疑比较复杂、难以掌握，远不如书中所载近似算法那么直截了当，易为一般基层官吏所掌握。

　　2.四不等田。土地方位通常用“四至”来描述，如果土地面积较大，对丈量精确度又要求不高，一些形状与矩形相去不太远的田地，就能将其近似地作为矩形来处理，这样方田的计算方法通常就能够满足需求。但现实中肯定还存在大量与矩形相差很远的田地，从早期出土文献中能够发现关于不规则四边形的记录。例如汉代买地券中有“南广九十四步，西长六十八步，北广六十五，东长七十九步，为田二十三亩奇百六十四步”，买地券中出现的土地未必真实存在，但从计算结果来看汉代恐怕还没有推行后代计算四不等田面积的通用公式，因为用包括《五曹算经》在内的后世几部算书中统一的算法去计算前述土地面积，并不能算出相同得数；不过，既然东汉已经有了对这种四不等田及其面积的描述，那么《五曹》、《敦煌算书》“均田法”和《夏侯阳》都统一采用的算法（两组对边平均值的乘积），很可能在早于这些算书的时代就已经出现，只是未见于现存的几部更早的算书而已。

　　3.在曲边形田地的面积计算上，《五曹算经》较前代算书，几乎没有任何进展。即使这类土地本来难以有所变化，也应把一大原因归结为在土地丈量的实际操作中，碰到曲边形土地的机会要远小于四边形土地，而精确计算此类图形面积的方法对于有些地方行政工作者来说，不仅有些高深，而且比较麻烦费事。故《五曹算经》将弧田、覆月田中的曲边，都按直边对待，而将这两种图形，都近似化为三角形来计算面积。这种做法无疑降低了计算的准确性，却简化了运算步骤，方便文化程度不高的下级官吏掌握。

　　4.对于六边梯形，《五曹算经》有3种，在上列算书中是包含类别最多的，而这在早于它的算书中一种都没有，晚于它的《敦煌算书》和《夏侯阳算经》只分别有2种和1种。在现实中，这种长条形状的田是很多的。它们本可以通过分为两个梯形分别计算其面积、然后求和来解决，但《五曹算经》却采用了另一条思路：先算出三广的平均值，再乘以从。这种算法说明造术者的思路是把这种图形化为矩形来计算，这与三角形田和梯形田的求积法有相似性：对特殊的广进行平均（对梯形是把两广求其平均，对三角形则视为一广为零的梯形来处理，对六边梯形则是三广平均），可以代替各广，他（们）还没有认识到这种代替只适用于一些特殊形状的图形。《五曹》关于这些图形的求积法的思想基础，是面积由一系列线段积累而成的观念。这种观念是很自然的思想，在先秦文献中已经存在，在《九章》及其刘徽注也用到了。当考虑不严密时，古人很容易想到用几条特殊的广的平均值作为诸广的代表。因此，尽管《五曹》中六边梯形的求积法不见于现存早于它的其他算书，但它们未必都由《五曹》那些问题的作者首先提出。《五曹》提出或采用这些精度不高的六边梯形的面积算法，说明它适应现实急务的需要：毕竟这种算法比分为两个梯形来计算，要简便得多，也便于大量基层官吏学习和掌握。

　　总之，《五曹算经》中出现的形状种类繁多的田地面积计算法，是北朝田地制度下行政部门需要频繁划分、丈量土地的形势对相应的计算工具的必然要求，而其中采用一些精度不高的算法，则不仅与均田制刚刚创立、还不够完善有关，而且也由于这些算法比更精确的算法简单便捷、更易于基层官吏掌握，同时又可以满足大范围的频繁测量与计算有关。唐代田曹的职能“掌园宅、口分、永业及荫田”，需要测算各种田地面积，正与《五曹算经》“田曹”中的问题所讨论的对象非常吻合，由于北周与唐代制度有密切联系，而均田制从北魏到唐中期都有施行，在服务于行政管理的算书中，将计算田地面积的题目列于“田曹”名目之下，是非常恰当的。