序
作者：李冶 金、元
1248年
数本难穷，吾欲以力强穷之，彼其数不惟不能得其凡，而吾之力且惫矣。然则数果不可以穷耶？既已名之数矣，则又何为而不可穷也？故谓数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可。何则？彼其冥冥之中，故有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之数也；非自然之数，其自然之理也。数一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦末如之何也已。苟能推自然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣。馀自幼喜算数，恒病夫考圆之术例出于牵强，殊乖于自然，如古率、徽率、密率之不同，截弧、截矢、截背之互见，内外诸角，析剖支条，莫不各自名家，与世作法。及反复研究，卒无以当吾心焉。老大以来，得洞渊九容之说，日夕玩绎，而向之病我者，使爆然落去而无遗馀。山中多暇，客有从馀求其说者，于是乎又为衍之，遂累一百七十问。既成编，客复目之《测圆海镜》，盖取夫天临海镜之义也。昔半山老人集唐百家诗选，自谓废日力于此良可惜，明道先生以上蔡谢君记诵为玩物丧志。夫文史尚矣，犹之为不足贵，况九九贱技能乎？嗜好酸咸，平生每痛自戒敕，竟莫能已，类有物凭之者，吾亦不知其然而然也。故嚐私为之解曰，由技兼于事者言之，夷之礼，夔之乐，亦不免为一技；由技进乎道者言之，石之斤，扁之轮，非圣人之所与乎？览吾之编，察吾苦心，其悯我者当百数，其笑我者当千数。乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉！
戊申秋九月晦日栾城李冶序
测圆海镜
序跋 ►
○敬斋先生《测圆海镜》后序
敬斋先生病且革，语其子克修曰：“吾平生着述，死后可尽燔去。独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者，庶可布广垂永乎！” 先生于六艺百家，靡不串贯，文集近数百卷，常谦谦不自伐。惟于此书不忘，称异于易箦之间，想有玄妙内得于心者。予以先生与先人同榜之故，素常兄事克修，克修兄命予重为序之，予不敢诡论豔藻，刻画无盐，唐突西子，直以所闻语意载之于后。
──至元二十四年春三月朔，翰林修撰承直郎广平王德渊后序○跋
天元如积之学，盛于元，亡于明，而複显于本朝。梅文穆公《赤水遗珍》天元一即借根方解，发三百年来算家之蒙，可谓有功矣！惟立天元术相消与借根方两边加减，实有不同。文穆于此，似犹未达其旨。盖相消之法大略与方程直除相似，但以右行对减左行，或以左行对减右行，故曰相消。西人易为加减，虽得数不殊，究不如古法之简且易也。浙江学使阮阁学芸台先生学贯天人，振兴绝业，以言立天元者，莫详于《海镜》。惜其流传未广，将重付剞劂。出所藏旧钞本寄示，命为校勘。爰依术布算，订其算式，间有转写脱漏，设数偶合处，辄因管见所及，是证其讹，凡若干条。极知固陋，无补古人，质之阁学，幸垂诲焉。
──嘉庆二年三月十九日元和李锐跋
测圆海镜
卷一
►
○圆城图式
○总率名号天之地为通弦，天之乾为通股，乾之地为通勾。天之川为边弦，天之西为边股，西之川为边勾。
日之地为底弦，日之北为底股，北之地为底勾。天之山为黄广弦，天之金为股即股方差也，金之山为勾。月之地为黄长弦，月之泉为股，泉之地为勾即勾方差也。
天之日为上高弦，天之旦为股，旦之日为勾。日之山为下高弦，日之朱为股，朱之山为勾。月之川为上平弦，月之青为股，青之川为勾。川之地为下平弦，川之夕为股，夕之地为勾。
天之月为大差弦，天之坤为股，坤之月为勾。山之地为小差弦，山之艮为股，艮之地为勾。日之川为皇极弦，日之心为股，心之川为勾。月之山为太虚弦，月之泛为股，泛之山为勾。
日之月为明弦，日之南为股，南之月为勾。
山之川为叀弦，山之东为股，东之川为勾。○今问正数通弦六百八十，勾三百二十，股六百。勾股和九百二十，较二百八十。
勾弦和一千，较三百六十。股弦和一千二百八十，较八十。弦较和九百六十，较四百。弦和和一千六百，较二百四十。
边弦五百四十四，勾二百五十六，股四百八十。勾股和七百三十六，较二百二十四。勾弦和八百，较二百八十八。股弦和一千○二十四，较六十四。
弦较和七百六十八，较三百二十。弦和和一千二百八十，较一百九十二。底弦四百二十五，勾二百，股三百七十五。勾股和五百七十五，较一百七十五。
勾弦和六百二十五，较二百二十五。股弦和八百，较五十。弦较和六百，较二百五十。弦和和一千，较一百五十。
黄广弦五百一十，勾二百四十即城径也，股四百五十即股方差也。勾股和六百九十，较二百一十。勾弦和七百五十，较二百七十。股弦和九百六十，较六十。
弦较和七百二十，较三百。弦和和一千二百，较一百八十。
黄长弦二百七十二，勾一百二十八即勾方差也，股二百四十即城径也。勾股和三百六十八，较一百一十二。勾弦和四百，较一百四十四。股弦和五百一十二，较三十二。
弦较和三百八十四，较一百六十。弦和和六百四十，较九十六。
高弦二百五十五（上下同），勾一百二十即半径也，股二百二十五。勾股和三百四十五，较一百○五。和三百七十五，较一百三十五。股弦和四百八十，较三十。
弦较和三百六十，较一百五十。弦和和六百，较九十。平弦一百三十六（上下同），勾六十四，股一百二十即半径也。勾股和一百八十四，较五十六。
勾弦和二百，较七十二。股弦和二百五十六，较一十六。弦较和一百九十二，较八十。弦和和三百二十，较四十八。
大差弦四百○八，勾一百九十二，股三百六十。勾股和五百五十二，较一百六十八。勾弦和六百，较二百一十六。股弦和七百六十八，较四十八。
弦较和五百七十六，较二百四十。弦和和九百六十，较一百四十四。小差弦一百七十，勾八十，股一百五十。勾股和二百三十，较七十。
勾弦和二百五十，较九十。股弦和三百二十，较二十。弦较和二百四十，较一百。弦和和四百，较六十。
皇极弦二百八十九，勾一百三十六，股二百五十五。勾股和三百九十一，较一百一十九。勾弦和四百二十五，较一百五十三。股弦和五百四十四，较三十四。
弦较和四百○八，较一百七十。弦和和六百八十，较一百○二。太虚弦一百○二，勾四十八，股九十。勾股和一百三十八，较四十二。
勾弦和一百五十，较五十四。股弦和一百九十二，较一十二。弦较和一百四十四，较六十。弦和和二百四十，较三十六。
明弦一百五十三，勾七十二，股一百三十五。勾股和二百○七，较六十三。勾弦和二百二十五，较八十一。股弦和二百八十八，较一十八。
弦较和二百一十六，较九十。弦和和三百六十，较五十四。叀弦三十四，勾一十六，股三十。勾股和四十六，较一十四。
勾弦和五十，较一十八。股弦和六十四，较四。弦较和四十八，较二十。
弦和和八十，较一十二。○识别杂纪天之于日与日之于心同，心之于川与川之于地同。
日之于心与日之于山同，故以山之川为小差。川之于心与川之于月同，故以月之日为大差。
明勾股相得名为内率求虚积，明股叀勾相得名为外率求虚积，虚勾虚股相得名为虚率求虚积。
凡勾股和即弦黄和，凡大差即股黄较，凡小差即勾黄较。高股平勾差名角差，又名远差。此数即高平二差共也，又为明和叀和较也（又为通差内去极差，又为极差虚差共）。明叀二差共名次差，又名近差，又名戾（音列）和。此数又为明大差叀小差较也。勾圆差之股、股圆差之勾相并名溷同和，此数又为一径一虚弦共也。明叀二差较名傍差，此数又为高平二差较，又为极双差内减虚和，又为极弦内减城径也。虚差不及傍差名蓌（音剉）差。此数又为大差差内去角差，又为极差内去二之平差，又为次差内去小差差，又为明股叀勾共内去二之明勾也。虚差旁差共名蓌和。
凡大小差相乘为半段径幂（大差勾小差股相乘亦同上），虚勾乘大股得半段径幂（虚股乘大勾亦同上）。边股叀股相乘得半径幂（明勾底勾相乘亦同上），黄广股黄长勾相乘为径幂。高股平勾相乘得半径幂，明弦明股并与叀弦叀勾并相乘得半径幂（明弦明勾并与叀弦叀股并相乘，亦同上）。高弦平弦相乘为一段皇极积。明勾叀股相乘，倍之为一段太虚积（明股叀勾亦同）。
右诸杂名目。
通弦上勾股和即一城径、一通弦也，其较即勾圆差、股圆差较也。勾弦和即二勾一大差，其较则大差也。股弦和即二股一小差，其较则小差也。弦较和为一径三差共，其较则大勾小差共也。三事和即边弦三事和上带大勾也，又为底弦三事和上带大股也，其较则城径也。
边弦上勾股和为通股平弦共，其较则大差股内去平弦也。勾弦和即通股底勾共，其较则明股明弦共也。股弦和即通股通弦和内少个边勾也，其较则平勾也。弦较共为大差上股弦和，其较则大勾也。三事和即通弦上股弦和，又为黄广三事和上带勾圆差也；其较则大差勾也，又为平弦上弦较和，又为太虚弦上股弦和也。
底弦上勾股和为通勾高弦共，其较则高弦内去小差勾也。勾弦和为通勾上弦较较与高股共，其较则高股也。股弦和为半个通弦上三事和，其较则叀弦上勾弦和也。弦较和为大差上勾弦和也，其较则小差上勾弦和也。三事和即通弦上勾弦和，又为黄长三事和上带股圆差；其较则小差股也，又为高弦上弦较较，又为太虚弦上勾弦和。
黄广弦上勾股和为大股虚股共，又为通勾通股共内少个小差上勾股和，其较则两个高差也。勾弦和为二高弦一圆径共，其较则二明股也。股弦和为通弦上弦较和，其较则二叀股也。弦较和即两个大差股也，其较即两个小差股也。三事和即两大股也，其较则两虚股也。
黄长弦上勾股和为大勾虚勾共，又为通和内少个大差上勾股和也，其较则两个平差也。勾弦和为通弦上弦较较，其较则两个明勾也。股弦和为二圆径二叀勾，其较则二叀勾也。弦较和为两个大差勾也，其较则两个小差勾也。三事和为两大勾，其较则两虚勾也。
高弦上勾股和为高弦虚股共，又为一径及高勾高股差也；其较则底弦内减大勾也，又为边股内减底股也。勾弦共则底股，其较则明股也。股弦共即边股，其差则叀股也。弦较共则大差，其较则小差股也。三事和即大股，其较则虚股也，又为小差上勾弦较，又为明弦上弦较较。
平弦上勾股共即平弦虚勾共也，其较则大股内减边弦也。勾弦共即底勾，其差则明勾也。股弦共即边勾，其较则叀勾也。弦较共即大差勾，其较则小差也。三事和即大勾，其较则虚勾也，又为大差上股弦较，又为叀弦上弦较和。
大差上勾股和即大股内去虚勾，其差则大差弦内去圆径也。勾弦共即大股，其差则大差股内去二之明勾也。股弦和为大股上加个大中差也，其较则虚勾也。弦较和为两个边弦上勾弦较，其较即城径也。三事和即股与股圆差共，又为大弦大较共，又为二边股，其较则太虚上弦较和也。
小差上勾股和即大勾内去虚股也，其较则圆径内去小差弦也。勾弦和为大勾上减个小中差也，其较则虚股也。股弦共即大勾，其较则小差勾内去两个叀股也。弦较和为圆径，其较则为两个底弦上股弦较，又为两个叀弦上勾弦和也。三事和即勾与勾圆差共也，又为大弦大较较，又为二底勾，其较则太虚上弦较较也。
皇极勾股和即高弦平弦共，其较则明股内去叀勾也。勾弦共即底弦，其较则明弦也。股弦共则边弦，其较则叀弦也。弦较和为高弦明弦共，又为大股内减大差勾，又为大差弦，其较则小差弦也。三事和即通弦，其较则太虚弦也，又为明勾叀股共，又为高弦内减明弦，又为平弦内减叀弦，又为大差勾上减虚股，又为小差股上减虚勾也。
太虚勾股和即圆径内减虚弦，又为虚弦虚黄方共，又为皇极弦内去明股叀勾共，其差则大差勾内减个小差股也。勾弦共即小差股也，其较则虚股内减个小黄方也。股弦共即大差勾，其较则虚勾内减个小黄方也。弦较和为大差弦上弦和较，又为黄长弦上勾弦较，又为两个明勾，其较则小差弦上黄方麵也。三事和即大黄方，其较则为两个明弦上股弦较，又为叀弦上两个勾弦较，又为明弦上小差与叀弦上大差共也。
明弦勾股和即大差内减明弦，其较则明弦内减虚股也。勾弦并即高股，其较则高股内少二之明勾也。股弦和即边股内减大差勾，又为边勾边弦差，其较则半个虚黄方也。弦较和即大差上勾弦较，其较则虚股也。三事和即股圆差，其较则太虚上勾弦较，又为虚股内减虚黄方也。
叀弦上勾股和即小差内减叀弦，其较则虚勾内减叀弦也。勾弦和即底勾内减小差股，又为底股底弦差，其较则半个虚黄方也。股弦和即平勾，其较则平勾内少两个叀股也。弦较和即虚勾，其较则小差上股弦较也。三事和即勾圆差，其较则太虚上股弦较，又为虚勾内减虚黄方也。
前黄广勾股下：其勾股较又为大差上少个小差股，又为中差内少个小差较，又为黄广股内少一径。勾弦共又为两个底股，又为大股与小差股共。股弦和又为大弦中差共，又为两个边股。股弦差又为小差上黄方麵。
前黄长勾股下：其勾股较又为大差勾上少个小差也，又为圆径内少个黄长勾。勾弦共又为两个底勾，又为大勾与小差勾共。勾弦较又为大差上黄方麵。股弦共又为两个边勾。
右五和五较。
大弦为大勾与股圆差共，又为大股与勾圆差共。边弦乃边股平勾共，又为大股内减平弦上勾股较。底弦乃底勾高股共，又为大勾内加一个高差。黄广弦为大股内减虚股，又为边股叀股共。黄长弦乃大勾内减虚勾，又为底勾明勾共。高弦乃大差弦内减明弦，又为明弦虚弦共。平弦乃小差弦内减叀弦，又为叀弦虚弦共。
大差弦乃大股内减大差勾，又为高弦明弦共，又为大弦内去黄长弦。小差弦为大勾内减小差股，又为平弦叀弦共，又为大弦内去黄广弦。极弦乃高股平勾共，又为平弦明弦共，又为高弦叀弦共，又为大差弦内减高平二弦较，又为小差弦内加高平二弦较。虚弦乃皇极黄方麵，又为明勾叀股共，又为高弦内减明弦，又为平弦内减叀弦。明弦乃高弦内减虚弦。叀弦乃平弦内减虚弦。
黄广弦黄长弦相并为大弦虚弦共也，以此数减于大和馀即虚和。若以二弦相减馀即虚弦平弦共也。黄广弦又为大差弦虚弦共。黄长弦又为小差弦虚弦共。以黄长弦减于大勾馀即虚勾。以黄广弦减于大股馀即虚股。
边弦底弦相并为大弦皇极弦共也，于此并数内减大和馀为皇极弦内减圆径也。若以二弦相减馀即皇极差也。此数同者最多，故又为皇极弦内少个小差弦，又为高弦平弦较，又为明股内少叀勾，又为大差弦内少皇极弦，又为次差虚差共也。边弦又为皇极股弦共，又为黄广弦叀弦共。底弦又为皇极勾弦共，又为黄长弦明弦共也。以边弦减大股馀为半径内减平勾，又为平弦内减小差也。底弦内减大勾馀为高股内减半径，又为大差内减高弦也。
黄广弦内减边股即叀股。黄长弦内减底勾即明勾也。
高弦高股共即边股。平弦平勾共即底勾。高弦高勾共即底股。平弦平股共即边勾。
上高弦减于通股馀即边股内减明股也。下平弦减于通勾馀即边勾内减明勾也。高弦平弦相并即大弦内少个皇极弦也。若以相并数减于大和馀为皇极弦圆径共也。高弦平弦相减馀即皇极差也，又为皇极弦上减小差弦也。若以相减数却加于相并数即黄广弦也。
高弦内减明股得半径。平弦内减叀勾亦同上。皇极勾上加明弦为皇极弦。皇极股上加叀弦亦同上。
皇极弦：得极勾即底弦，得极股即边弦。内去极勾即明弦，去极股即叀弦。减于通弦即极和，得虚弦亦同上。内去虚弦即明弦叀弦共，去虚黄即明和叀和共也，去城径即傍差。内加极差即大差弦，去极差即小差弦，加角差即两个高股，减角差即二平勾。
太虚弦：加入极弦为极和。极弦内去之即明叀二弦共，再去之则明大差叀小差并也。加于大差弦即黄广弦，加于小差弦即黄长弦。内去明勾则叀股，加明勾为圆径内少虚黄叀股共。加入明股为明和叀股共，减于明股即明较内去叀股。加入明弦为极股，减于明弦为明大差叀小差内少个叀弦。加于明和即两个虚弦一个高差共也，减于明和即高差也。内去叀勾即明勾叀较共，又为叀股平差共。加于叀勾即叀和明勾共。加于叀股为二虚弦内少明勾，又为圆径内少虚黄明勾共。内减叀股即明勾。内加叀弦即极勾。内减叀弦为明勾内少个叀小差。加入叀和即两个虚弦内少个平差也。内减叀和即平差也。加入明叀二和共即极和内少个虚黄也。若减于明叀二和共，即明股叀勾共也。减于高弦即明弦，减于平弦即叀弦，加于角差即二明勾一极差共。减于角差即一极差二叀股较也。得傍差即明股叀勾共，内减傍差即虚三事和内去了极双差也。内加虚差即二明勾，内减虚差即二叀股。内加虚黄方即虚和，内减虚黄方即虚积大小差并也。
右诸弦。
大差弦、小差弦共即两个极弦也，以两个极差为之较。大差差、小差差共即两个极差也，以两个傍差为之较。大差上大差、小差上大差共即两个明弦也，以两个明差为之较。大差上小差、小差上小差共即两个叀弦也，以两个叀差为之较。大差黄、小差黄数共即两个极黄也，以两个虚差为之较。大差勾、小差勾共即两个极勾也，以两个平差为之较。大差股、小差股共即两个极股也，以两个高差为之较。二和共为二极和，以二角差为之较。
大差上弦较较即圆径，小差上弦较和亦同上。大差上小差即虚勾，小差上大差即虚股也。大差弦与明勾共即边股，小差弦与叀股共即底勾也。大差弦内减中差即黄长勾，小差弦内加中差即黄广股也。大股内减小差股即黄广股，大勾内减大差勾即黄长勾也。虚弦得虚股即大差勾，虚弦得虚勾即小差股也。明段弦较和即大差上勾弦较，明段弦较较即小差上勾弦较也。叀段弦较和即大差上股弦较，叀段弦较较即小差上股弦较也。大差勾内减虚弦馀即虚股，小差股内减虚弦馀即虚勾也。以大差和减大股即虚勾，以小差和减大勾即虚股也。以大差差减圆径即明勾，此差若多于圆径，则内减圆径，馀即虚勾也。以小差差减圆径即小差弦也。大差弦上加一径即大股上加虚勾也。小差弦上加一径即大勾上加虚股也。大差股内减高弦，馀即高股内减半径。平弦内减小差勾，馀即半径内减平勾也。大差差内减虚差即二明差，小差差内减虚差即二叀差也。
大弦内减大小差共即圆径。三事和内减二之大小差共即三个圆径也。
大差勾小差股相并名溷同和，即一圆径一虚弦也。若以相减即虚差也。
大差和小差和二数相并即大弦虚弦共也。二数相减即中差虚差共也。又半之并数即为极弦虚弦共也，又为高弦平弦共，又为皇极勾股共也。
大差差小差差二数相并即两个皇极差，又为大差弦内减小差弦也。二数相减而半之即是皇极弦上减圆径也（即旁差）。右大小差。
大差差、小差差、虚差共为一个通差，高、平、极三差共亦同上。明差、叀差、虚差共为一个极差也，诸黄方麵亦彷此。
边黄内减底黄即虚差。黄广黄内减黄长黄即二虚差。高黄内减平黄即虚差，盖高黄即虚股，平黄即虚勾也。大差黄内减小差黄即二虚差，盖大差黄即二明勾，小差黄即二叀股也。明黄内减叀黄馀即虚差。叀弦上三差合成一个虚黄方。
高差内减平差为旁差，边差内减底差亦同上，明差内减叀差亦同上。大差差内减小差差为二旁差，黄广差内减黄长差亦同上。
极双差即明叀二弦共。内加虚双差即明叀二和共，内减虚双差即明双差叀双差共也。内加旁差即极弦内少个虚弦旁差差，内减旁差即虚和也。内加虚差即极弦内少二叀股，内减虚差则极弦内少二明勾也。
极差内加旁差为大差差，内减旁差为小差差也。内加虚差即角差，内减虚差即次差也。倍极差为大差差、小差差共，则倍旁差为之较。倍极弦为大差弦、小差弦共，倍极差为之较。以极差为明差、平差共，则以蓌差为之较。以极差为高差、叀差共，则以抃和为之较。副置抃和上加抃差而半之即旁差也，下减抃差而半之则虚差也。极差内减二之平差得蓌差。
角差内加旁差为二高差，内减旁差即二平差也。内加明叀二差并而半之得极差，内减明叀二差而半之则虚差也。内加极差即通差，内减极差则虚差也。
以虚差减于明和为明叀二股共，以虚差加于叀和为明叀二勾共也。又副置二和共上加次差而半之，即明叀二股共；下减次差而半之，即明叀二勾共也。明叀二股共以高差为较，明叀二勾共以平差为较。
以高差减明和即虚弦，以平差加叀和亦同上。以高差减高股即半径，以平差加平勾亦同上。以高差减大差差即明差，以平差减小差差即叀差也。以高差减大差即高弦，以平差加小差即平弦也。二之平差内去虚差馀即小差差，去二虚差即两个叀差。
高股即半径上股方差，平勾即半径上勾方差，故高勾平股共为全径也。黄广股即全径上股方差，黄长勾即全径上勾方差，故黄广勾黄长股共数为两个全径也。
边弦内减底弦即皇极差。边股内减底股即高差，又为底弦内减大勾。边勾内减底勾即平差，又为大股内减边弦也。
大勾减底弦馀即半径为勾之中差也。大股内减边弦馀即半径为股之中差也。边股底勾相并即大弦，若以相减即通中差也。二高股一虚差合成一个股圆差。二平勾一虚差合成一个勾圆差。
明双差亦为明叀二大差，其较则明差也。叀双差亦为明叀二小差，其较则叀差也。明双差内减明差即虚黄，叀双差上加叀差亦同上。以明双差加明和即两明弦，以叀双差加叀和则两叀弦也。以明双差减明和而半之即明黄，又为虚大差。以叀双差减于叀和而半之即叀黄，又为虚小差也。以虚大差减明和即明弦，以虚小差减叀和即叀弦也。明双差、叀双差相较则次差也。明双差叀双差又相并加于明叀二和共，则为两个极双差。若以减于明叀二和共，则为两个虚双差也。明双差上加虚双差即明叀二股共，叀双差上加虚双差即明叀二勾共也。
以明叀二股共为明弦叀黄共，则高差虚黄共为之较；为明大小差虚大小差共则明叀二股共，内去两个虚双差为之较也。以明叀二勾共为叀弦明黄共，则以平差虚黄较为之较；为叀大小差虚大小差共则明叀二勾共，内减两个叀大小差为之较也。
明叀二和共内减旁差即二虚弦，虚弦内加旁差即明股叀勾共也。
明和内去平差即明股叀勾共，叀和上加高差亦同上也。明和内去高差即虚弦，叀和上加平差亦同上。明弦内去高差即虚勾，叀弦上加平差即虚股也。明股内去叀股即高差，去叀勾则极差也。明勾内去叀股即虚差，去叀勾则平差也。
明叀二股并内减虚弦即明差。明叀二勾并减于虚弦即叀差。
明叀二和共又为明叀二弦共与明叀二黄共数也，其较则明双差叀双差共数也。其明叀二和共数内减旁差即二虚弦也。若内减虚双差即明叀二弦共也。
极弦为高股平勾共则角差为之较，为高弦叀弦共则极差虚弦共为之较，为平弦明弦共则极差虚弦较为之较也。
极弦得极差为大差弦，大差弦内减明和则高弦内减虚大差也，内减极差则为小差弦，小差弦内减叀和则是平弦内减虚小差也。又大差弦减于明和与高股共，馀则为虚勾不及明勾剩粒保
小差弦内减叀和与平勾共，馀则为叀股不及虚股数也。右诸差。
边勾边股差又为皇极差与高差共也，又为边弦内去大勾也。边勾边弦共又为大勾边股共。边勾边弦较又为大差弦内减半径也。边股边弦较又为叀弦上股弦和。
底勾底股差又为皇极差平差共，又为大股内去底弦，又为高股内去底小差。底勾底弦共为大弦内少个底股大勾差。底勾底弦较又为明弦上勾弦和。底股底弦共与边勾边弦共同。底股底弦较又为底勾内少小差股也。
边股内减高弦馀则高股，内减大差弦馀则明勾，内减底弦即底股内减大勾也，又为高弦内减底勾也。
底勾内减平弦馀即平勾，内减小差弦馀即叀股。以底勾减于边弦馀即大股内减边勾也，又为边股内减平弦也。边弦内减底股与底弦内减边勾同，为皇极弦内减半径也。
皇极勾内减明勾馀即平勾也，若减叀勾即半径也，倍之则为底勾明勾共。皇极股内减叀股馀即高股也，若减明股馀即半径也，倍之则为边股叀股共也。
明股得虚股即高股，明勾得虚勾即半径。叀股得虚股即半径，叀勾得虚勾即平勾也。高弦内减高股即叀股。平弦内减平勾即明勾也。明弦内减明差即虚股，叀弦内加叀差即虚勾也。高股即虚明二股共，平勾即虚叀二勾共也。明弦明勾并数与高股同，叀弦叀股并数与平勾同也。
明股叀勾相并减于极弦即虚和，又为极黄虚黄共也。
明叀二弦并内减叀双差即明叀二股并，内减明双差即明叀二勾并，内加虚弦即极弦，内减虚弦即明大差叀小差并也。
以明和为明弦明黄共，则明双差为之较。以叀和为叀弦叀黄共，则叀双差为之较也。明和又为高差虚弦共，又为极差与明叀二勾共数。叀和又为平差少于虚弦数，又为极差少于明叀二股数。
半之三事和内加半黄方即勾股共，若减之则弦也。半圆径内加半虚黄即虚和，减半虚黄即虚弦也。又以半虚黄加明和即高股，以半虚黄加叀和即平勾也。加明股则明弦，加叀勾则叀弦也。减明勾则明黄，减叀股则叀黄也。以虚黄加明黄则为虚股，以加叀黄则虚勾也。
右诸率互见。
高弦叀弦共为极弦，其差即虚弦极差共也。高股叀股共为高弦，其差即虚股高差共也。高勾叀勾共为平弦，其差即半径内减叀勾也。高和叀和共为极和，其差即极和内少二叀和也。高差叀差共为极差，其差即虚差旁差共也。高黄叀黄共为虚弦，其差即叀黄不及虚股数也（高黄即虚股）。高大差叀大差共即明弦，其差即半虚黄不及明股数也。此高大差即明股，此叀大差即半虚黄也。高小差（即叀股）叀小差共即叀弦，其差即叀小差不及叀股数也。明平二弦共亦为极弦，其较即虚弦不及极差数也。明平二股共亦为高弦，其较即明股内减半径也。明平二勾共亦为平弦，其较即平差内去虚勾也。明平二和共亦为极和，其较则极和内少二之平和也。明平二差共亦为极差，其较即虚差不及旁差数也。明平二黄共亦为虚弦，其较则虚勾不及明黄数也。明平二大差共亦为明弦，其较即明勾不及明大差数也（平大差即明勾）。明平二小差共亦为叀弦，其较则叀勾不及半虚黄数也。此明小差即半虚黄，此平小差即叀勾。
右四位相套。
边弦：自减其股为平勾。自减其勾为明股明弦并。减于通弦馀平弦。减于通股馀平差。内减通勾馀边差。内减底弦馀极差。内减底股为半径旁差共，又为极弦内少半径。内减底勾即大股内去边勾也。内减黄广弦馀叀弦。内减黄广股即小差股内去平差。内减黄广勾即大差内去平差。内减黄长弦又得黄长弦。内减黄长股与内减黄广勾同。内减黄长勾即大股内去极勾虚勾共。内减皇极弦馀高弦。
底弦：自减其股为叀勾叀弦并。自减其勾为高股。减于通弦馀高弦。减于通股馀底差。内减通勾馀高差。减于边弦馀极差。减于边股即底差内去半径。内减边勾即高差平勾共。减于黄广弦馀为明大差叀小差并。减于黄广股即底差内去小差股。内减黄广勾即一个明弦一个黄长股弦较。内减黄长弦馀明弦。内减黄长股与内减黄广勾同。内减黄长勾馀为高股明勾共。内减极弦为平弦。减于边股又为底股内去大勾。
高差平差共又为平勾高股差。以半径减高股即高差。半径内减平勾即平差。明勾内减叀勾与平差同。明股内减叀股与高差同。股圆差内减极股即高差也。勾圆差减于极勾即平差也。正股内去边弦即平差也。底弦内去正勾即高差也。大差勾内去极勾即平差也。极股内去小差股即高差也。极差内去叀差即高差也，内去明差即平差也。
旁差即城径极弦较也，又为明差叀差较，又为高差平差较。极差得之为大差差也，去之则为小差差也。
又高差平差（下）：明和内去虚弦即高差，虚弦内去叀和即平差。大差弦内加虚差即黄广股，小差弦内减虚差即黄长勾。通差内去高差即底差，内去平差即边差也。
虚大差得二虚勾即勾圆差之股，虚小差得二虚股即股圆差之勾也。明段弦较较即虚股也。叀段弦较共即虚勾也。
半虚黄：叀勾得之即叀弦也，减于此数即虚黄内去叀弦也。叀股得之即虚勾也，去之即叀黄方也。叀弦得之即平勾内去叀黄也，去之则叀勾也。明勾内得之即虚股也，去之即明黄方也。明股得之即明弦也，去之即明弦内去个虚黄方也。明弦得之即高股内去明黄也，去之即明股也。
测圆海镜
卷二
○正率一十四问
假令有圆城一所，不知周径。四麵开门，门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为乾地，其东北十字道头定为艮地，其东南十字道头定为巽地，其西南十字道头定为坤地。所有测望杂法，一一设问如后。
或问：甲乙二人俱在乾地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙。问径几里。答曰：城径二百四十步。
法曰：此为勾股容圆也。以勾股相乘，倍之为实。并勾股幂以求弦，複加入勾股共以为法。
草曰：置甲南行六百步在地。以乙东行三百二十步乘之，得一十九万二千步，倍之得三十八万四千步为实。以乙东行步自之，得一十万○二千四百步为勾幂；以甲南行步自之，得三十六万步为股幂；二幂相并，得四十六万二千四百步为弦方实。以平方开之，得六百八十步则弦也。以弦加勾股共，共得一千六百步以为法。如法而一，得二百四十步则城径也。合问。
或问：甲乙二人俱在西门，乙东行二百五十六步，甲南行四百八十步望见乙。问答同前。
法曰：此为勾上容圆也。以勾股相乘，倍之为实。并勾股幂以求弦，加入股以为法。
草曰：置甲南行四百八十步在地，以乙东行二百五十六步乘之，得一十二万二千八百八十步，倍之得二十四万五千七百六十步为实。以乙东行步自之，得六万五千五百三十六步为勾幂；以甲南行步自之，得二十三万○四百步为股幂；勾股幂相并，得二十九万五千九百三十六步为弦方实。以平方开之，得五百四十四步为弦也。以加入甲南行步，共得一千○二十四步以为法。如法而一，得二百四十步则城径也。合问。
或问：甲乙二人俱在北门，乙东行二百步而止，甲南行三百七十五步望见乙。问答如前。
法曰：此为股上容圆也。以勾股相乘，倍之为实。以勾股幂求弦，加入勾以为法。
草曰：置甲南行三百七十五步，以乙东行二百步乘之，得七万五千步，倍之得一十五万步为实。以乙东行自之，得四万步为勾幂；以甲南行自之，得一十四万 ○六百二十五步为股幂；勾、股幂相并，得一十八万○六百二十五步为弦方实。如平方而一，得四百二十五步则弦也。加入乙东行二百步共得六百二十五步以为法，以法除之，得二百四十步则城径也。合问。
或问：甲乙二人俱在圆城中心而立，乙穿城向东行一百三十六步而止，甲穿城南行二百五十五步望见乙。问答同前。
法曰：此为勾股上容圆也。以勾股相乘，倍之为实。并勾股幂，如法求弦以为法。
草曰：以二行步相乘得三万四千六百八十步，倍之得六万九千三百六十步为实。置乙东行自之，得一万八千四百九十六步为勾幂；又以甲南行自之，得六万五千○二十五步为股幂；二幂相并，得八万三千五百二十一步为弦方实。以平方开之，得二百八十九步即弦也，便以为法。如法除实，得二百四十步即城径也。合问。
或问：甲乙二人同立于乾地，乙东行一百八十步遇塔而止。甲南行三百六十步，回望其塔正居城径之半。问答同前。
法曰：此为弦上容圆也。以勾股相乘，倍之为实，以勾股和为法。
草曰：以二行步相乘得六万四千八百步，倍之得一十二万九千六百步为实。并二行步，得五百四十步以为法。以法除实，得二百四十步即城径也。合问。
或问：甲乙二人俱在坤地，乙东行一百九十二步而止，甲南行三百六十步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：此为勾外容圆也。以勾股相乘，倍之为实，以弦较共为法。
草曰：以二行步相乘，得六万九千一百二十步，倍之得一十三万八千二百四十步为实。置乙东行自之，得三万六千八百六十四步为勾幂；又置南行自之，得一十二万九千六百步为股幂；二幂相并，得一十六万六千四百六十四步为弦方实。以平方开之，得四百○八步即弦也。又置甲南行步，内减乙东行步，馀一百六十八步即较也。以较加弦，共得五百七十六步以为法。实如法而一，得二百四十步为城径也。合问。
或问：甲乙二人同立于艮地，甲南行一百五十步而止，乙东行八十步，望甲与城参相直。问答同前。
法曰：此为股外容圆也。以勾股相乘，倍之为实，以弦较较为法。
草曰：二行步相乘得一万二千，倍之得二万四千步为实。以甲南行自之，得二万二千五百步为股幂；又以乙东行步自之，得六千四百步为勾幂；勾股幂相并，得二万八千九百步为弦方实。以平方开之，得一百七十步即弦也。以二行步相减，馀七十步为勾股较也。以此较又减弦，馀一百步即弦较较也，便以为法。实如法而一，得二百四十步即城径也。合问。
或问：甲乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直。问答同前。法曰：此为弦外容圆也。勾股相乘，倍之为实，以弦和较为法。
草曰：以二行步相乘，得四千三百二十步，倍之得八千六百四十步为实。以甲北行自之，得八千一百步为股幂；又以乙西行自之，得二千三百○四步为勾幂；二幂共得一万○四百○四步为弦方实。以平方开之，得一百○二步为弦也。又并二行步得一百三十八步为和，以弦减和馀三十六步，得黄方以为法。实如法而一，得二百四十步即城径也。合问。
或问：甲乙二人俱在南门，乙东行七十二步而止，甲南行一百三十五步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：此为勾外容圆半也。以勾股相乘，倍之为实，以大差为法。
草曰：以二行步相乘，得九千七百二十步，倍之得一万九千四百四十步为实。又以乙东行自之，得五千一百八十四步为勾幂；又以甲南行自之，得一万八千二百二十五步为股幂；二幂相并，得二万三千四百○九步为弦方实。以平方开之，得一百五十三步即弦也。以乙东行七十二步为勾，以减弦，馀八十一步即勾弦差也，便以为法。实如法而一，得二百四十步即城径也。合问。
或问：甲乙二人俱在东门，甲南行三十步而止，乙东行一十六步，回望甲与城参相直。问答同前。
法曰：此为股外容圆半也。以勾股相乘，倍之为实，以小差为法。
草曰：以二行步相乘，得四百八十步，倍之得九百六十步为实。又以乙东行自之，得二百五十六步为勾幂；又以甲南行自之，得九百步为股幂；二幂相并，得一千一百五十六步为弦方实。以平方开之，得三十四步即弦也。以甲南行三十步为股，以减弦，馀四步以为法。以法除实，得二百四十步即城径也。合问。
或问：甲出西门南行四百八十步而止，乙出东门南行三十步望见甲。问答同前。
法曰：此为半矮梯也。以二行步相乘为实，如平方而一，得半径。
草曰：以二行步相乘，得一万四千四百步为实。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
又问：甲乙二人。乙出南门折而东行七十二步而止，甲出北门折而东行二百步望见乙。问答同前。法曰：以二行步相乘，得数四之为实。如平方而一，得城径。
草曰：二行步相乘得一万四千四百步，又四之，得五万七千六百步为实。以平方开之，得二百四十步即城径也。合问。
又假令：乙出南门折东行二十步，甲出北门折东行七百二十步。如此之类，亦同上法（以上三问俱是以半矮梯求之）。
或问：甲乙二人。乙在艮地东行八十步而立，甲在坤地南行三百六十步望见乙。问答同前。
法曰：此为两差求黄方也。以二行步相乘，倍之为实，以平方开之得城径。
草曰：二行步相乘得二万八千八百步，倍之得五万七千六百步为实。以平方开之，得二百四十步即城径也。合问。别得甲南行即股圆差也，乙东行即勾圆差也。
或问：甲出东门四十八步而立，乙出南门四十八步见之。问答同前。法曰：此当以方五斜七求之，每出门二步，管径十步。
草曰：置出门步在地，以五之，得二百四十步即城径也。据此法，合置出门步在地，以十之，二而一。以二数相折，故五因便是。合问。
或问：出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之。问答同前。
法曰：以二行步相乘为实，二行步相并为从，一步常法。得半径。
草曰：立天元一为半径，置南行步在地，内减天元半径，得�为股圆差。又置乙东行步在地，内减天元，得下式�为勾圆差。以勾圆差增乘股圆差，得�为半段黄方幂，即城幂之半也（寄左）。又置天元幂以倍之，得�，亦为半段黄方幂，与左相消得�。如法开之，得半径。合问。
又法：识别得二行并即大弦也，立天元一为半径。置甲南行步加天元一，得�为大股。又置乙东行步加天元，得�为大勾也。勾股相乘，得�为一个大直积。以天元除之，得下式�，为三事和也（寄左。黄方除倍积得三事和。今以半黄方除直积，亦为三事和也）。然后并二行步，又并入勾股共，得�为同数，与左相消得 �。以平方开之，得一百二十步，倍之得全径也。合问。
测圆海镜
卷三
○边股一十七问
或问：乙出东门南行不知步数而立，甲出西门南行四百八十步望见乙，複就乙行五百一十步与乙相会。问答同前。法曰：倍相减步，以乘二之甲南行步为平方实，得城径。
草曰：识别得二行相减馀三十步，即乙出东门南行步也，倍相减步得六十步，以乘二之甲南行步九百六十步，得五万七千六百步为平方实。如法开之，得二百四十步即城径也。合问。
或问：甲出西门南行四百八十步而止，乙从艮隅东行八十步望见甲。问答同前。
法曰：倍南行步，以东行步乘之为实，东行步为从方，一步常法。得全径。
草曰：立天元一为圆径，以减于二之甲南行步，得�为两个大差也。以乙东行步乘之，得�为圆径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。以平方开之，得二百四十步即城径也。合问。
又法：半之乙东行步乘南行步为实，半乙东行步为从，一步常法。得半径。
草曰：立天元一为半城径，减甲南行步，得�为大差也。以半之东行步乘之，得�即半径幂（寄左）。然后以天元幂为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：甲出西门南行四百八十步而止，乙从艮隅亦南行一百五十步望见甲。问答同前。法曰：两行步相乘为实，南行步为从方，一为隅。得半径。
草曰：立天元一为半城径，以减乙南行步，得�为半梯头；以甲行步为梯底，以乘之，得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：甲出西门南行四百八十步，乙出东门直行一十六步望见甲。问答同前。
法曰：以四之东行步乘南行幂为实，从空，东行为廉，一步为隅法。得全径。
草曰：立天元一为圆径，加乙东行步，得�为中勾，其甲南行即中股也。置东行步为小勾，以中股乘之，得�太，合以中勾除。今不受除，便以为小股也（内寄中勾分母）。乃複以中股乘之，得三百六十八万六千四百，又四之，得一千四百七十四万五千六百为一段圆径幂（寄中勾分母。寄左）。然后以天元径自之，又以中勾乘之，得�为同数，与左相消得�。以立方开之，得二百四十步为城径也。合问。
或问：乙出南门东行七十二步而止，甲出西门南行四百八十步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：以乙东行幂乘甲南行为实，乙东行幂为从方，甲南行步内减二之东行步为益廉，一步常法。得半径。
草曰：立天元一为半城径，以减南行步，得�为小股；又以天元加乙东行，得�为小勾。又以天元加南行步，得�为大股。乃置大股在地，以小勾乘之，得下式�，合以小股除之。今不受除，便以为大勾（内寄小股分母）。又置天元半径，以分母小股乘之，得�，以减大勾，得�为半个梯底于上。以乙东行七十二步为半个梯头，以乘上位，得�为半径幂（内寄小股分母。寄左）。然后置天元幂，又以分母小股乘之，得�为同数，与寄左相消得�。以立方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
又法曰：以云数相乘为实，相减为从，一虚法，平开得半径。
草曰：别得二数相并为大股内少一虚勾，其二数相减为大差弦也。立天元一为半径，副置之。上位减于四百八十，得�为股圆差（即大差股也）。下位加七十二，得�为大差勾。勾股相乘得下式�为一段大差积（寄左）。再以大差勾减于大差股，馀�为较，又加入大差弦四百单八，共得�为弦较共也。以天元乘之，得� 为同数，与左相消得�。以平方开之得一百二十步，即半径。合问。
前法太烦，故又立此法以就简也。
或问：乙出南门东行不知步数而立，甲出西门南行四百八十步望见乙，与城参相直。又就乙行四百○八步与乙相会。问答同前。
法曰：二行步相减以乘甲南行步为实，甲南行步内减相减步为益方，一步常法。得半径。
草曰：识别得二行相减馀七十二步，即是乙出南门东行数也，更不须用弦。遂立天元一为半城径，加乙东行，得�为小勾也。副置南行步，上减天元，得� 为小股；下加天元，得�为大股。乃置大股以小勾乘之，得下式�，合以小股除之。今不受除，便以此为大勾也（内带小股分母）。又倍天元，以小股乘之得下式 �，以减于大勾，得�为勾圆差也。合以股圆差乘之，缘此勾圆差内已带小股分母（小股即股圆差也），更不须乘，便以此为半段黄方幂（更无分母也。寄左）。乃以天元自之，又倍之为同数，与左相消得�。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出东门直行不知步数而止，甲出西门南行四百八十步望见乙，複就乙斜行五百四十四步与乙相会。问答同前。
法曰：半南行步减半斜行步，以乘南行幂为实，从方空，半斜行半南行相减，得数加入南行步为隅法。得半径。
草曰：识别得二行相减馀六十四步，即半径为股之勾也。立天元为半径，就以为小股，其二行相减馀六十四步即小勾也。乃置甲南行步加天元，得下式�为大股，以小勾乘之得�，又以小股除之得�为大勾。又倍天元一减之，得下式�为勾圆差也，半之得�于上。乃以天元减甲南行步，得�为股圆差，以乘上位得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得下式�。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。
又法：以二数差乘二数并，开方得边勾，複以边股乘之为实，并二数而半之为法，实如法得二百四十步，即城径（此盖用前勾上容圆法也）。
或问：乙从乾地东行，不知几步而止，甲出西门南行四百八十步望见乙，複就乙斜行六百八十步与乙相会。问答同前。
法曰：并二行数以二行差乘之，内减二行差幂为实，并二行步及二行差为从方，二步常法。得半径。
草曰：识别得二行相减馀二百步，即半圆径与小差共数也。立天元一为半城径，加于二百步得�为大勾也。又以天元加于甲南行四百八十步，得�即大股也。乃以大勾自之，得�为勾幂（寄左）。乃置甲斜行六百八十步为大弦，加入大股，共得�于上。再置二行差内减天元，得�为小差，以乘上位，得�为同数，与左相消得�。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。
又法：求小差：二行相减以自之，又四之为实；二行相减，八之于上，二之南行步内减二之二行相减数，又以加上位为益方；二步常法。
草曰：立天元一为小差，减二行差得�为半城径，以自之得�，又四之得�为圆径幂（寄左）。然后以半城径减于甲南行，得�，又倍之得�为两个大差也，又以天元乘之得�为同数，与左相消得下式�。以平方开之，得八十步为小差也。
或问：乙出南门不知步数而立，甲出西门南行四百八十步，望乙与城参相直，複就乙斜行二百五十五步与乙相会。问答同前。
法曰：甲南行内减二之两行差，馀以乘甲南行，又倍之为实，二步为隅。得半径。
草曰：别得二行步相减，馀二百二十五步乃是半径为勾之股也。立天元一为半城径，就以为小勾率，其二行差二百二十五步即为小股率。乃置甲南行步加入天元，得�为大股，以天元小勾乘之，得�，合以小股除。今不受除，便以此为大勾（内寄小股为母）。乃倍天元，以小股乘之得�元，以减大勾，馀�为一个小差于上（内寄小股分母）。乃以天元减甲南行步，得�为大差也，以乘上位得�，又倍之得�为圆径幂（内寄小股分母。寄左）。然后倍天元以自之，又以小股乘之，得 �为同数，与左相消得�。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出南门直行一百三十五步而止，甲出西门南行四百八十步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：二行步相减馀以自乘，内减乙行幂为实，二之甲南行为益从，一步常法。得半径。
草曰：立天元一以为半径，便以为勾率；又以天元加乙行步，并以减于甲行步，得�为股率。乃置乙南行步一百三十五步为小股，以勾率乘之得�元，合以股率除之。今不受除，乃便以此为小勾（内寄股率分母）。又置乙南行步，加二天元，得�为大股，以勾率乘之得�，合以股率除之。今不受除，便以此为大勾（内寄股率分母）。以小勾大勾相乘，得�为半径幂（内带股率幂为分母。寄左）。然后置天元以自乘，又以股率幂乘之，得�为同数，与左相消得�。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：甲乙二人同出西门向南行，至西南十字道口分路。乙折东行一百九十二步而立，甲又南行，甲通行四百八十步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：两行相乘得数，又以乙东行乘之为实，二行相乘于上位，又置乙东行以二行相减数乘之，得数加上位为法。
草曰：立天元一为半城径，副之。上位加甲行步，得�为大股也；下位减于甲行步，得�为小股也；其乙东行即小勾也。置大股以小勾乘之，得�（内寄小股 �为母）。便以为大勾也。置天元以母通之，得�，减于大勾，得�为半个矮梯底于上，再置乙东行内减天元，得下式�为半个矮梯头，以乘上位得下式�为半径幂（寄左）。再置天元以自之为幂，又以分母乘之，得�为如积，与左相消得�。上法下实，得一百二十步，即城之半径也。合问。
又法：二行步相乘为实，倍甲南行内减乙东行为法。
草曰：立天元一为半城径，副之。上位加甲南行，得�为大股；下位减甲行步，得�为小股，便是股圆差也。其乙东行即小勾也。置大股以小勾乘之，得�，内寄小股�为母，便以为大勾也。再置天元以二之，又以分母乘之，得�为全径。以减于大勾，馀�为勾圆差也。合以股圆差乘之，缘内已有小股分母，不须更乘，便以此为两段之半径幂也，更无分母（寄左）。然后置天元幂以二之，得�为如积，以左相消得�。上法下实，得一百二十步即半城径也。合问。
或问：见边股四百八十步，叀弦三十四步。问答同前。
法曰：叀弦乘边股，半之为实，半叀弦半边股相并为从，半步隅法。开平方，得叀股�。
草曰：立天元一为叀股，加叀弦得�，为平勾也。又以天元减边股而半之，得�为高股也。平勾高股相乘，得�为半径幂（寄左）。然后以天元乘边股为同数，与左相消得下式�。开平方得叀股三十步，以乘边股，开平方倍之即圆径也。合问。
或问：见边股四百八十，明弦一百五十龋粒保问答同前。
法曰：二云数相减複倍之，内减边股，複以边股乘之于上；又以明弦幂乘上位为实，以边股乘明弦幂又二之为从；二云数相减馀以自之为第一廉，二云数相减又倍之为第二益廉，一常法。开三乘方，得明勾�。
草曰：立天元一为明勾，加明弦得�为高股也。以高股减边股，馀�为高弦，以倍之得�为黄广弦也。内却减边股，得�为叀股，複以边股乘之，得�于上。又以明弦自乘，得二万三千四百○九为分母，以乘上位得�为带分半径幂（寄左）。然后置黄广弦，以天元乘之，得�。複合以明弦除之，不除，寄为母，便以此为全径。又半之，得�为半径，以自之得�为同数，与左相消得下式�。开三乘方得七十二步，即明勾也。馀各依法入之。合问。
又法：边股内减二明弦，複以边股乘之，複以明弦幂乘之为三乘方实。廉从并与前同。
草曰：识别得二数相减馀�为高股虚弦共，又为高弦明勾共。此馀数内又去半径即明和也。明和明弦相并即股圆差，相减则明黄方也。又倍明弦加明黄亦得股圆差也。边股内减明勾馀即大差弦也。立天元一为明勾，减于云数相减数，得�即高弦也。以高弦减边股得�即高股也，以高股减于云数相减数，得�即虚弦也。以天元又减虚弦，得�即叀股也。乃置高弦，以天元乘之，得�，合明弦除。不受除，便以此为高勾也（即半径）。高勾自之，得�为半径幂（内带明弦幂分母。寄左）。然后置边股以叀股乘之，得�为半径幂；又以明弦幂二万三千四百○九分母通之，得�为同数，与左相消得实、从、廉、隅五层，一如前式。
或问：边股四百八十步，高弦二百五十五步。问答同前。法曰：以边股减于二之高弦，複以边股乘之。开平方，得半径。
草曰：立天元一为半径。先倍高弦，内减边股馀�，複以边股乘之，得�（寄左）。以天元幂与左相消，得�。开平方得数，倍之即城径也。合问。
或问：边股四百八十步，平弦一百三十六步。问答同前。
法曰：置平弦以边股再乘之为实，以边股自之为益从，平弦为益廉，一虚隅。开立方，得半径。
草曰：别得平弦即皇极勾也。立天元一为半径，副之。上位加平弦，得�即边勾也；下位减于平弦，得�即叀勾也。置叀勾以边股乘之，得�，合边勾除。今不受除，寄为母，便以此为叀股。乃以此边股乘之，得�为半径幂（内带边勾分母。寄左）。然后以天元为幂，以分母边勾乘之，得�为同数，与左相消得 �。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：边股四百八十步，明股明弦和二百八十八步。问答同前。
法曰：以二云数相减馀加边股，複以减馀乘之，讫。又折半于上，又以减馀自之，减上位为实，并云数半之为法。得明勾�。
草曰：别得二数相减馀�为大差勾。立天元一为明勾，减于大差勾，得�即半径也。又以天元减半径，得�为虚勾于上；又以半径加边股，得�为通股于下。上下相乘，得�。折半得�为半径幂（寄左）。然后以半径幂�为同数，与左相消得�。上法下实，得七十二步，即明勾也。合问。
或问：见边股四百八十步，叀勾叀弦和五十步。问答同前。
法曰：半边股、半和步相并得�为汛率。以汛率减边股，以自之，又二之于上，以和步乘汛率减上位为实，以汛率减边股六之于上，内又加半个边股、三个和步为益从，三步常法。得叀股�。
草曰：别得和步得叀股即小差也，小差边股共即二中差。立天元一为叀股，加和步得�即小差也。以小差加边股而半之，得�即中差也。中小差相并得 �即大差也。以小差乘之，得�为半段径幂（寄左）。然后置边股内减大差得�为半径，以自之，得�，又倍之得下式�。与左相消得下式�。开平方，得三十步即叀股也。合问。
法曰：和步乘边股，又以和步乘之为实；倍边股加和步，又以和步乘之为从；边股内减二之和步为益廉，一常法。开立方，得叀股�。
草曰：别得边勾边弦和内减和步即黄广勾弦和也。边股得叀股即黄广弦也。黄广勾即圆径。叀弦上三事和即小差。立天元一为叀股。以和步乘边股得 �，以叀股除之得�为边勾边弦和也。以和步减之，馀得下式�为黄广勾弦和也。以天元加边股得下式�为黄广弦，以减于黄广勾弦和，馀得下式�为圆径。倍边股得下�太，内减圆径得下式�为两个大差于上。又以和步加天元，得下式�为小差，以乘上位得�为径幂（寄左）。然后以天元乘边股，又四之得�为同数，与左相消得�。开立方得三十步，即叀股也。合问。
测圆海镜
卷四
○底勾一十七问
或问：乙出南门东行，不知步数而立，甲出北门东行二百步见之，就乙斜行二百七十二步与乙相会。问答同前。法曰：二行差数乘甲东行，又四之为平方实。得全径。
草曰：识别得二行相减馀七十二步，即乙出南门东行数也。以甲东行减于就乙斜行馀七十二步，以乘甲东行步，得一万四千四百步，又四之得五万七千六百步为实。以平方开之得二百四十步，即城径也。合问。
或问：乙从坤隅南行三百六十步，甲出北门东行二百步见之。问答同前。法曰：二行步相乘倍之为实，乙南行为从，一步常法。
草曰：立天元一为城径，以减于二之甲东行步，得�为两个小差。以乙南行步乘之，得�为城径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。以平方开之得二百四十步，即城径也。合问。
又法：半之乙南行步乘甲东行为实，半乙南行为从，一步常法。得半径。
草曰：立天元一为半城径，减甲东行，得�为小差。乃半乙南行步，得一百八十步，以乘小差，得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得下式�。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙从坤隅东行一百九十二步而止，甲出北门东行二百步见乙。问答同前。法曰：两行步相乘为实，甲东行为从，一为隅。得半径。
草曰：立天元一为半径，减于乙东行，得�。以甲行步乘之，得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出南门直行一百三十五步，甲出北门东行二百步见乙。问答同前。
法曰：以乙南行步乘甲东行幂，又四之为实，从空，乙南行为廉，一步常法。
草曰：立天元一为城径，加乙南行得�为股率，其甲东行即勾率也。置乙南行�为小股，以勾率乘之得�太，合以股率除。今不受除，便以此为小勾（寄股率为母）。乃以甲东行步乘之，得�，又四之得二千一百六十万于太极位，为一段城径幂（寄股率分母。寄左）。然后以天元城径自之，又以股率分母通之，得�为同数。与左相消，得下式�。以立方开之得二百四十步，即城径也。合问。
又法：二行相乘，又以自乘为实，以二之东行乘南行幂为益方，南行幂为从，四之东行为益隅。立方开得小勾七十二。
草曰：立天元一为小勾，以南行为小股，以东行二百步为大勾也。置大勾内减天元，得�为中勾也，以小股乘之得�，以天元小勾除之，得�为中股即城径也，以自之得�为城径幂也（寄左）。又立天元小勾以乘大勾二百步，又四之得�为同数。与左相消得�，开立方得七十二步即小勾也，以乘大勾二百步为实。平方开得一百二十步，倍之即城径也。合问。
又法：求半径：以南行步乘东行幂为实，从空，南行步为廉，二常法。
草曰：立天元一为半径，以二之加南行步，得�为股率，以东行为勾率，以南行为小股也。置小股以勾率乘之，得�，以股率除之。不受除，隻寄股率分母，便以�此为小勾也。又以勾率乘之，得下式�为半径幂（寄左）。再立天元半径以自之，又以分母股率乘之，得�为同数，与左相消得�。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出东门南行三十步而止，甲出北门东行二百步望见乙，与城参相直。问答同前。
法曰：以甲东行步乘乙南行幂为实，以乙南行幂为从，甲东行内减二之乙南行为益廉，一步为隅。得半径。
草曰：立天元一为半城径，减于甲东行步，得�为小勾。以天元加于乙南行步，得�为小股。乃以天元加东行步，得�为大勾。置大勾以小股乘之，得�，合以小勾除之。今不受除，便以此为大股（内带小勾分母）。又置天元半径以分母小勾乘之，得�，减于大股馀�，以乙南行步乘之，得�为半径幂（内有小勾分母。寄左）。然后以天元为幂，又以小勾通之，得�为同数。与左相消，得下式�。以立方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问（翻法在记）。
又法：乙南行乘甲东行为平实，二数相减为从，一益隅。翻开，得半径。
草曰：别得二数相并为大勾内少一虚股，其二数相减为小差弦也。立天元一为半径，副置之。上位减于二百步，得�为勾圆差（即小差勾也）。下位加三十步，得�为小差股。勾股相乘得�为一段小差积（寄左）。再以小差勾减小差股，馀有�为一较也。又以此较减于小差弦�太，得下式�为一个弦较较。以天元乘之得下式�为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，即半城径也。合问（翻法在记）。再立此法者，盖从简也。
或问：乙出东门南行不知步数而立，甲出北门东行二百步望见乙，複就乙斜行一百七十步与乙相会。问答同前。
法曰：以二行差乘甲东行为实，甲东行内减二行差为益方，一步常法。得半径。
草曰：识别得二行相减馀三十步，即乙出东门南行步也（更不须用弦）。立天元一以为半城径，加乙南行得�为小股。副置甲东行步，上位减天元得下式� 为小勾，下位加天元得�为大勾也。乃置大勾以小股乘之，得下式�，合以小勾除。不受除，便以此为大股（内带小勾分母）。又倍天元以小勾乘之，得�，以减于大股得�，又倍之得�为两个股圆差。合以勾圆差乘之，缘为其中已带小勾分母，更不须乘，便以此为黄方幂（更无分母。寄左）。然后倍天元以自之为同数，与左相消得�。上下俱半之（俱半之者，盖从简也），得�。以平方开之得一百二十步，倍之即圆径也。合问。
或问：乙出南门直行不知步数而止，甲出北门东行二百步见之，複就乙斜行四百二十五步与乙相会。问答同前。
法曰：倍两行差，以乘二之甲东行为实，从空，四之甲东行于上，倍两行差加上位为隅。得半径。
草曰：识别得二行差二百二十五步即半径为勾之股也。立天元一以为半径，便是小勾，其二行差便是小股。乃置甲东行步加天元，得�为大勾，以小股乘之得下式�，又以小勾除之，得�为大股。又倍天元以减之，得�为股圆差，又倍之得�为两个股圆差于上。乃以天元减甲东行，得�为勾圆差，以乘上位，得下式�为城径幂（寄左）。然后倍天元一以自之，与左相消得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
又法：并二数，以二数差乘之，开方得底股。複以甲东行二百步乘之为实，并二数而半之以为法。如法得二百四十步即城径也。合问（此用股上容圆求之，比前法极为简易）。
或问：乙从乾隅南行不知步数而止，甲出北门东行二百步望见之，複就乙斜行六百八十步与乙相会。问答同前。
法曰：并二行以二行差乘之，内减二行差幂为实，并二行步及二行相减数为从，二步常法。得半径。
草曰：识别得斜行六百八十步即大弦也。其二行相减馀四百八十步即半圆径与大差共数也。立天元一为半城径，副置之。上位加二行相减数，得�为大股也；下位加甲东行步，得�为大勾也。乃以大股自增乘，得�为大股幂（寄左）。乃并大勾、大弦得�于上，又以大勾减大弦，得�为大差，以乘上位得�为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
又法：求大差：
法曰：二行差自乘为实，置二之二行差于上，乃以甲东行步减二行差，又半之以减于上为益方。半步常法。
草曰：立天元一为大差，减于二行差，得�为半城径，以自之得�为半径幂（寄左）。乃以半城径减于甲东行，得下式�为小差，又以天元乘之得�，又半之得�为同数与左相消，得下式�。以平方开之，得三百六十步，即大差也。合问。
或问：乙出东门不知步数而立，甲出北门东行二百步望见乙，複就乙斜行一百三十六步与乙相会。问答同前。
法曰：甲东行步内减二之二行差，馀以乘甲东行为实，一步常法。得半径。
草曰：别得二行相减馀六十四步，即半径为股之勾。立天元一为半城径，就以为股率，其二行差即勾率也。乃置甲东行步加天元，得�为大勾，以天元股率乘之得�。合以勾率除之，不受除，便以此为大股（内带勾率分母）。乃倍天元以勾率乘之，得�元，以减大股得�，为一个大差于上（内带勾率分母）。乃以天元减甲东行，得�为小差，以乘上位得�为半段黄方幂（内寄勾率为母。寄左）。然后以天元自之，又以勾率乘之，又倍之，得�为同数与左相消，得下式�。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出东门直行一十六步而止。甲出北门东行二百步望见乙，与城参相直。问答同前。
法曰：二行步相减馀以自乘，内减乙东行幂为实，二之甲东行为益从，一步隅法。得半径。
草曰：立天元一以为半城径，加乙行步，并以减于甲行步，得�为平勾率，其天元半径即平股率也。乃置乙东行一十六步为小勾，以股率乘之得�元，合以勾率除之。今不受除，便以此为小股（内带勾率分母）。又置乙东行加二天元，得�为大勾，以股率乘之得�，合以勾率除之。今不受除，便以此为大股（内寄勾率为母）。以此小股、大股相乘得�为半径幂（内寄勾率幂为母。寄左）。然后以勾率幂乘天元幂，得�为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：甲乙二人同出北门，向东行至东北十字道口分路。乙折南行一百五十步而立，甲又向东行，甲前后通行了二百步，回望乙恰与城相直。问答同前。
法曰：以二行步相乘于上，又以南行步乘之为实；二行步相乘于上，又以乙南行减于甲东行，得数複以乙南行乘之，加上位共为法。得半径。
草曰：立天元一为半城径，副之。上位加甲行步得�为大勾也，下位减于甲行步馀�为小勾也。其乙折行即小股也。置大勾以小股乘之，得�，内寄小勾� 为母，便以为大股也。再置天元以母乘之，得�，减于大股馀�为半个矮梯底于上（内寄小勾为母）。再置乙折行步内减天元，得�为半个矮梯头。以乘上位，得� 为半径幂（寄左）。乃以小勾分母乘天元幂，得下式�为同数，与左相消得�。上法下实，如法而一，得一百二十步即城之半径也。合问。
又法：法曰：二行步相乘为实，倍甲东行内减乙南行为法。
草曰：立天元一为半圆径，副之。上位加甲东行得�为大勾，下位减甲东行得�为小勾。此小勾便是勾圆差也。其乙南行即小股也。置大勾以小股乘之，得下式�，内寄小勾�为母，便以为大股也。再置天元以二之，又以分母乘之，得�为全径，以减于大股，馀得�为股圆差也。合以勾圆差乘之，缘内已有小勾分母，故不须更乘，便以此为两段之半径幂也，更无分母（寄左）。再置天元以自之，又二之得�为同数，与左相消得�。上法下实，得一百二十步即半城径也。合问。
或问：见底勾二百步，明弦一百五十三步。问答同前。
法曰：半底勾乘明弦为平实，并二云数而半之为从，五分常法。得明勾�。
草曰：立天元一为明勾，加明弦得�为高股也。又以天元减底勾而半之，得下式�为平勾也。股勾相乘得�为半径幂（寄左）。然后以天元乘底勾得下式�元为同数，与左相消得�。开平方得七十二步，即明勾也。以明勾乘底勾为平方实，如法开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：见底勾二百步，叀弦三十四步。问答同前。
法曰：底勾、叀弦相减，馀倍之，内减去底勾，複以底勾乘之于上。又以叀弦幂乘上位为三乘方实；倍底勾以叀弦幂乘之为从；二云数相减，馀以自之为第一廉；二云数相减，馀又倍之为第二益廉；一步隅法。得叀股�。
草曰：立天元一为叀股，加叀弦得�为平勾。以平勾减底勾，馀�为平弦，以倍之得�为黄长弦也。此弦内却减底勾，馀得下式�为明勾也。複以底勾乘之，得�于上。又叀弦自乘得一千一百五十六为分母，以乘上位得�为带分半径幂（寄左）。然后置黄长弦以天元乘之，得�，合以叀弦除之。不除，寄为母，便以此为全径也。以半之得�为半径（内带叀弦分母），以自之得�为同数，与左相消得�。开三乘方得三十步，即叀股也。馀各依数求之，合问。
又法：底勾内减二叀弦，複以底勾乘之，複以叀弦幂乘之，为三乘方实。馀廉、从并与前同。
草曰：识别得二数相减馀一百六十六为平勾、虚勾共，又为平弦、叀股共；于此馀数内又去半径即叀和也。叀和、叀弦相并即勾圆差也，相减则叀黄方也。又倍叀弦加叀黄亦得勾圆差也。底勾内减叀股馀即小差弦也。立天元一为叀股，减于云数相减数，得�为平弦；以平弦减底勾得�，即平勾。以平勾减于云数相减数，得�即虚弦；以天元又减虚弦，得�即明勾也。乃置平弦以天元乘之，得�，合叀弦除。不除，寄为母，便以此为平股也（即半径）。平股自之，得�为半径幂（内带叀弦幂分母。寄左）。然后置底勾以明勾乘之，得�，又以叀弦幂一千一百五十六通之，得下式�为同数，与左相消得�。廉从一一如上。
或问：见底勾二百步，平弦一百三十六步。问答同前。法曰：倍平弦内减底勾，複以底勾乘之，开平方得半径。
草曰：立天元为半径，先倍平弦内减底勾，馀�为明勾，複以底勾乘之，得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，又倍之即城径也。合问。
或问：底勾二百步，高弦二百五十五步。问答同前。
法曰：底勾幂乘高弦为立实，底勾幂为从，高弦为廉，一为隅。得半径。
草曰：识别得高弦即皇极股也。立天元一为半径，副之。上位加高弦，得�即底股也；下位减于高弦，得�即明股也。置明股以底勾乘之，得�，合以底股除。不除寄为母，便以此为明勾；又以底勾乘之，得�为半径幂（内带底股分母。寄左）。然后以天元幂乘底股得�，与左相消得�。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：底勾二百步，叀勾、叀弦和五十步。问答同前。
法曰：以二云数相减馀加底勾，複以减馀乘之，半之于上。以减馀自之减上位为实，并云数半之为法。得叀股�。
草曰：别得二数相减，馀�为小差股。立天元一为叀股，减于小差股，得�即半径也。又以天元减半径，得�为虚股于上；又以半径加底勾，得下�为通勾于下；上、下相乘得�，折半得�为半径幂（寄左）。然后以半径自之，得下式�为同数，与左相消得�。上法下实，得三十步即叀股也。合问。
或问：见底勾二百步，明股、明弦和二百八十八步。问答同前。
法曰：二数相减又半之，得数又减于底勾，馀为泛率。以泛率自之又倍之于上位。又二数相减而半之，以乘和步，所得减于上位为实。倍泛率于上位，又半底勾减和步加上位为法。得明勾�。
草曰：别得和步得明勾为大差也。大差得底勾为二中差。立天元一为明勾，加和步得�为股圆差也（即大差）。内又加底勾得�，折半得�，即通勾通股差也（此即中差）。置大差减中差得下�即小差也。大、小差相乘得�为半段圆径幂（寄左）。乃置底勾内减小差，得�为半径，以自之，得�，倍之得下式�为同数，与左相消得�。上法下实得七十二步，即明勾也。合问。
法曰：和步乘底勾又以和步乘之为实，倍底勾加和步又以和步乘之为从，倍和步内减底勾为廉，一常法。开立方得明勾�。
草曰：底股、底弦和内减和步，即黄长股弦和也。底勾得明勾即黄长弦也，黄长股即圆径，明弦上三事和即大差。立天元一为明勾，以和步乘底勾得�，以明勾除之得�为底股底弦和也，内减和步馀�为黄长股弦和也。以天元加底勾得�为黄长弦，以减黄长股弦和，馀�为圆径。倍底勾内减圆径，得�为两个小差于上；以和步加天元，得�为一个大差于下。上、下相乘得下式�为圆径幂（寄左）。然后以天元乘底勾，又四之得�为同数，与寄左相消得下式�。开立方得七十二步，即明勾也。合问。
测圆海镜
卷五
○大股一十八问
或问：乙出南门直行一百三十五步而立，甲从乾隅南行六百步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：倍二行差内减甲南行步，複以乘甲南行步为实（倍二行差减甲南行步，即是甲南行步内减二之乙南行也）；四之甲南行步内减二之乙南行为从方；四益隅。开平方得半径。
草曰：立天元一为半径，以二之加乙南行步，得�为中股，以中股又减于甲南行步，得�为股率，其天元半径即勾率也。置甲南行为大股，以勾率乘之，得� 元，合以股率除之，不受除，便以此为大勾（内带股率分母）。再置天元以二之，以股率乘之，得�。减于大勾，馀�为勾圆差于上（内有股率分母）。又以二之天元减甲南行，得�为大差，以乘上位，得�为半段黄方幂（内寄股率分母。寄左）。然后以天元自之，又以股率乘之，又倍之得�为同数，与左相消得下式�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出南门东行七十二步而止，甲从乾隅南行六百步，望乙与城参相直。问答同前。法曰：云数相乘为平实，甲南行为从，二益隅。得半径。
草曰：别得虚勾乘通股得半段圆径幂，此与虚股乘通勾同。立天元一为半径，内减乙东行得�为虚勾，以乘甲南行得�为半段径幂（寄左）。再以天元为幂，又倍之为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出东门直行一十六步，甲从乾隅南行六百步望见乙。问答同前。
法曰：以乙东行乘甲南行幂为实，二之乙东行乘甲南行为从方，廉空，二步隅法。得半径。
草曰：立天元一为半城径，以二之加于乙东行，得�为勾率；又以天元减甲南行，得�为股率。乃置乙东行以股率乘之，得�，合以勾率除。不除便以此为小股，此小股即半梯之头也（内带勾率分母）。又以股率乘之（此股率即半梯之底也），乘讫得�为半径幂（内带勾率分母。寄左）。然后置天元幂以勾率通之，得 �为同数，与左相消得�。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出东门南行三十步而立，甲从乾隅南行六百步望见乙。问答同前。法曰：二行步相乘为实，以乙南行为从，一步常法。得半径。
草曰：立天元一为半径，以减于甲南行得�为半梯底，以乙南行三十步为半梯头，以乘之得�为半径幂（寄左）。乃以天元幂与左相消，得�。开平方得一百二十步，即半城径也。合问。
或问：乙从艮隅南行一百五十步而立，甲从乾隅南行六百步望见乙。问答同前。法曰：二行步相乘为实，并二行步为法。得半径。
草曰：立天元一为半径，副置之。上以减于乙南行，得�为半梯头，下以减于甲南行得�为半梯底。上、下相乘得�为半径幂（寄左）。乃以天元幂与左相消，得下式�。上法下实，如法而一，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙从艮隅东行八十步而立，甲从乾隅南行六百步望见乙。问答同前。
法曰：二行步相乘又倍之为实，二之乙东行为从，一步常法。得全径。
草曰：别得乙东行八十步即小差也。立天元一为城径，减于甲南行步，得�为大差，以乙东行步乘之得�，又倍之得�为城径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：南门东不知远近有树。甲从乾隅南行六百步，望树与城参相直，複就树斜行四百八步至树。问答同前。
法曰：两段南行步幂内减两段两行相乘数为实，二之南行步为从，一步益隅。
草曰：别得南行步内减城径即小股也，其斜行步即小弦也。又二行相减即大差为股之勾也。乃立天元一为圆径，以减南行步，得�为股圆差也（合为小股）。置南行步以斜行步乘之，得�太，合以小股除之。不受除，便以此为大弦（内带小股分母）。再置南行步以小股乘之，得�为大股（亦带小股分母）。以大股减大弦，得�为小差也。合以大差乘之，缘于内带大差分母，更不须乘，便以为半段黄方幂（更无分母）。又二之得�为一段黄方幂（寄左）。然后以天元幂为同数，与左相消得�。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
依前问：假令乙出南门东行不知步数而止，甲从乾南行六百步望乙与城相直，複就乙斜行四百八步。
法曰：二行差幂乘甲南行为实，二之二行差以乘南行步为益方，二之二行差为隅。得半径。
草曰：识别得二行相减即半城径与乙东行共也。得此数更不须用斜。立天元为半径，减于二行差一百九十二，得�即半梯头也。又以二天元减甲南行步，得 �为股率，又以一百九十二为勾率。乃置甲南行以勾率乘之，得�，合股率除，不除便以此为大勾（内寄股率分母）。再置天元以股率乘之，得�，以减于大勾得� 为半梯底也。头底相乘得下�为半城径幂也（内寄股率分母。寄左）。然后以股率乘天元幂为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，即半城径也。合问。
或问：东门南不知远近有树，甲从乾隅南行六百步见树，複向树斜行五百一十步至树。问答同前。
法曰：二之差步乘二之甲南行为实，并二之差步二之甲行步为从，二益隅（若欲从简，上下俱折半）。
草曰：别得二行相减数即虚积之股也。立天元一为圆径，内减二之差步，得�为梯头于上，又以天元减于二之甲行步，得�为梯底。上、下相乘，得�为圆径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：乙出东门直行不知步数而立，甲从乾隅南行六百步望见乙，複就乙斜行五百四十四步与乙相会。问答同前。
法曰：以二行步相减乘甲南行步，得数，又半之南行步以乘之为实；以二行差乘南行步于上，又以半之南行步乘南行步加于上为从方；二之南行步为益廉，一步常法。得半径。
草曰：别得二行相减即平积上勾股较（此股即半径也）。又别得是大勾圆差不及平弦数立天元一以为半城径，以减南行步，得�为中股，其斜行步即中弦也。乃立半城径以斜行步乘之，得�元，合以中股除。今不受除，便以此为平弦（内带中股分母）。又以二行步相减，馀五十六步，为勾圆差不及平弦数。置此数以中股乘之得�，複以减平弦，馀得�为小差（内带中股分母）。乃以二天元减甲南行步为大差，又半之得�，以乘小差得�为半径幂（寄左）。然后以天元自乘，又以中股通之，得�为同数，与左相消得�。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问（翻法在记）。
或问：甲乙二人俱在乾隅，乙东行不知步数而立，甲南行六百步望见乙，複就乙斜行六百八十步与乙相会。问答同前。
法曰：以二行差乘二行并，开平方，得数内複减二行差，得全径。
草曰：别得二行相减即勾圆差也。先求大勾。立天元一为大勾。以二行相减馀八十步，以乘二行相并数一千二百八十步，得�太为勾幂，开平方得三百二十步即大勾也。大勾内减去勾圆差，馀二百四十步即城径也。合问。
或问：南门外不知远近有树，甲从乾隅南行六百步，望树与城参相直，複就树斜行二百五十五步至树。问答同前。
法曰：倍二行相减数内减甲南行，得数複以乘甲南行为实，倍二行相减数为从，二步益隅。得半径。
草曰：识别得斜行步乃是树至城心之数也。立天元一为半径，加斜行步得�为树至城北门之步也。乃以减于甲南行，得�为小股率，其天元半径即小勾率，其斜步即小弦数也。再置甲南行步内减天元得�为梯底于上，又置梯底内减二之小股率，得�即梯头也。複以乘上位得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得下式�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：东门外不知步数有槐树一株，甲从乾隅南行至柳树下，望见槐树，複斜行至槐树下。甲自云我共行了一千一百四十四步。乙从艮隅东行望见槐树与城相直，複斜行至槐树下。乙自云我东行步不及斜行五十六步。问答同前。
法曰：甲斜行减于甲南行以乘甲南行，得数複以乘二之甲南行为实；半之甲南行以乘二之甲南行于上，甲斜行减于甲南行，馀複以乘甲南行，又倍之加上位为从方；二之甲南行为益廉，五分隅法。
草曰：识别得五十六步是小差不及平弦数（此小差即勾圆差也）。又为平弦上勾股差，又为甲斜行不及大股。乃副置甲共行在地，其上位加五十六步而半之，得六百步即大股也。其下位减五十六步而半之，得五百四十四步即今弦也。立天元一为圆径，以半之减于甲南行步，得�为中股，其斜行五百四十四步即中弦也。乃立半天元以斜步乘之，得�元，合以中股除之，今不受除，便以此为平弦（内寄中股分母）。又置勾圆差不及平弦数以中股乘之，得�，複以减于平弦，得�为小差（内带中股分母）。又以天元减甲南行，倍之得�为两个大差，以乘小差得�为圆径幂（寄左）。然后以中股乘天元幂，得下式�为同数，与左相消得�。开立方得二百四十步，即城径也。合问（翻法在记）。
或问：出东门向南行不知步数有柳树一株，甲从乾隅南行六百步望见柳树而止。乙出东门直行不知步数望见柳树与甲相直，却斜行三十四步至柳树下。问答同前。
法曰：斜行乘甲南行数，以乘甲行幂为实；斜行乘甲南行幂，又三之为从方；甲行幂内减两段斜行、南行相乘数为第一廉，二之南行步为第二益廉，二步常法。得半径。
草曰：立天元一为半径，以二之减甲南行得�为大差，以自之得�为大差幂，加于南行幂，得�，又半之得�为大弦也，内带大差�分母，别寄。又置乙斜行以大股六百乘之，得�，合大弦除，不除便以此为小股也（内带大弦分母）。乃以天元减甲南行，得�即半梯底也，以乘小股半梯头得�为半径幂于上，此半径幂内有大弦分母。缘别寄大弦分母元带大差分母，故又用大差分母�乘上半径幂，得�为带分半径幂也。所带之分，谓隻带大弦分母也（寄左）。然后以大弦乘天元幂，得�为同数，与左相消得�。开三乘方得一百二十步，即半城径也。合问。
又法：置甲行幂于上，又置甲行幂半之以乘上位为实；以斜行乘甲行幂，倍之于上位，又以甲行再自乘加上位为益方；置甲行幂于上，以斜行乘甲南行，倍之，以减上位为第一廉；甲南行步为第二益廉，半步常法。得股圆差。
草曰：立天元一为股圆差（即大差），以自之为幂，以加甲南行幂得�。半之，又以天元除之得�为大弦，其甲南行即大股也。别置乙斜行三十四步以大股乘之，得�太，合大弦除，不除便以为小股（内寄大弦分母）。乃以天元加甲南行步，得�为全梯底也。以乘小股半梯头，得�，又倍之得�为城径幂（内寄大弦为母。寄左）。乃置天元大差减甲南行，馀为圆径，以自之得�，又以大弦分母乘之得�为同数，与左相消得下式�。开三乘方得三百六十步，即股圆差也。以股圆差减甲南行馀二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲从乾隅南行六百步而止，丙从南门直行，乙出南门东行，各不知步数而立。甲望乙、丙悉与城参相直，既而乙就丙斜行一百五十三步相会。问答同前。
法曰：以甲南行步再自之于上，以斜行步乘甲南行幂，又倍之，减上位为立方实；南行步自之又四之于上，以斜步乘甲南行，又倍之，减上位为益从；六之甲行步为从廉，四步虚常法。得半径。
草曰：立天元一为半径，以二之减于甲南行，得�为大差也，以自之得�为大差幂也，乃置甲南行幂内加大差幂而半之，得�为大弦也（内带大差分母）。又置甲南行幂内减大差幂而半之，得�为大勾也（亦带大差分母）。乃置斜行步在地，以大勾乘之得�，合以大弦除，不除便以此为小勾，内带大弦为母（其大勾内元有大差分母，不用），即半梯头也（寄上位）。再置天元半径以大差乘之，得�，以减于大勾得�元为半梯底也。以乘上位得�为半径幂也（内带大差及大弦为母。寄左）。然后置天元幂以大差通之，又以大弦通之，得�为同数，与左相消得�。开立方得一百二十步，即半城径也。合问。
依前问：假令南门外有树，乙出南门东行不知步数而立（隻云乙东行步少于树去城步）。甲从乾隅向南行六百步望树与乙，悉与城参相直，乙就树斜行一百五十三步至树下。问答同前。
法曰：以斜行步乘甲行幂为立方实，以甲行幂半之于上，以斜行步乘甲行步减上位为益从，廉无入，五分虚隅。得大勾、大弦差。
草曰：别得斜步即小弦，小弦得小和即勾弦差也。立天元一为股圆差，以自之为幂，副之，上以加甲南行幂而半之，得�为大弦也（寄大差分母）。下以减于甲南行�幂而半之，得下式�为大勾也（寄大差分母）。乃置斜步以大勾乘之得下�，合大弦除，不除便以此为小勾（寄大弦分母），又置斜步以甲南行乘之得� 太，合以大弦除为小股，不除而又以同母分通之，得�为同分小股也（隻寄大弦分母。注：大股乘时，无大差分母，故今通之，以齐大勾上所有大差分母也）。又置斜步以大弦通之，得�为通分小弦也。三位相并得�为股圆差也（寄左）。然后置天元大差以大弦分母通之，得�为同数，与左相消得�。开立方得三百六十步，即股圆差也。以股圆差减于甲南行步即城径也。合问。
或问：东门外不知步数有树，甲从乾南行六百步而止，乙出北门东行，斜望树及甲与城参相直，却就树斜行一百三十六步。问答同前。
法曰：二行步相乘于上，又半甲南行乘之为实；二行相乘于上，又半甲南行以乘甲南行，加上位为益从；甲南行为从廉，一步益隅。开立方得半径。
草曰：立天元一为半径，便以为小股，其斜行步即小弦也。乃以甲南行为大股，以小弦乘之，複以天元除之，得�即大弦也。又倍天元减甲南行，馀�为大差，以减大弦，馀�为大勾也。又倍天元以减勾，得�为小差也。却以半大差�乘之，得�为半径幂（寄左）。乃以天元幂相消，得下式�。开立方得一百二十步，即半径也。合问。
或问：南门外不知步数有槐树一株，东门外不知步数有柳树一株，槐柳二树相去二百八十九步。有人从乾南行六百步而止，斜望槐、柳与城参相直。问答同前。
法曰：云数相乘，得又自增乘为三乘方实；斜步幂乘南行步，又二之为益从；二云数相乘又倍之为益廉，二之斜步为第二从廉，二步常法。得槐至城心步。
草曰：别得槐树至城心步即人所止至槐树步也。乃立天元一为槐树至城心步（即人至槐处）。加于斜步得�为边弦也，以天元乘之得�，合斜步除，不除便以此为边股（寄斜步分母）。又以斜步乘南行步得�为大股，以边股减之，馀�为半城径（寄斜步分母）。以自之得�为半径幂（内带斜步幂为母。寄左）。又以天元减斜步得�为叀弦，以天元乘之得�，合斜步除，不除寄为母，便以此为半梯头。以边股半梯底乘之，得�为同数，与左相消得�。开三乘方得二百五十五步，即槐树至城心之步也，亦为皇极正股。又自之，得数以减斜幂，馀如平方而一得城心至柳树步，又为皇极正勾也。勾股相乘倍之为实，如斜步而一，即城径也。合问。
或问：甲从乾南行六百步而立，乙出南门直行，丙出东门直行，三人相望俱与城相直，而乙、丙共行了一百五十一步。问答同前。
法曰：甲南行为幂，折半又以自之为实，倍共步加甲南行以乘半段甲行幂为从方，甲行乘共数为从廉，一个半甲南行为第二益廉，二分五厘为三乘方隅。
草曰：识别得共步加城径即皇极和也，又是半径为勾之弦与半径为股之弦相和步也。二之此数内减去大弦即皇极勾股内黄方麵也，亦为太虚弦。乃立天元一为大差，以自之，副置二位。上位减于甲南行幂，以天元除之，又折半得�为大勾也。下位加甲南行幂以天元除之，又折半得�为大弦也。其甲南行即大股也。并大勾、大股得下式�即大和也。再立天元减甲南行，得�即圆径也，加共步得�即皇极和，又是半径为勾之弦及半径为股之弦共数也。又倍之得�，即全径为勾之弦及全径为股之弦共数也。内减大弦得�即小和内黄方麵也。乃置大和�以小黄方麵乘之，得�。合以小和除之，不除便以此为大黄方也（内寄小和为母。寄左）。然后以天元减甲南行得�为大黄方，以小和�为同数，与左相消得�。开三乘方得三百六十步，即股圆差也。以股圆差减于甲南行馀二百四十步，即城径也。合问。
或问：丙出南门东行，乙出东门南行，各不知步数而立。甲从乾隅南行六百步，斜望乙、丙悉与城参相直，乙就丙斜行一百二步相会。问答同前。
法曰：以斜步乘甲南行幂，又倍之为实；倍甲行幂于上，又以斜步乘二之甲南行加于上为从方；四之甲南行为益廉，四步常法。开立方得半径。
草曰：别得斜步为小弦也，以斜步减圆径馀为小和也。乃立天元为半径，以二之减于甲南行，得�为大差也，以自之得�为大差幂也。置甲南行幂�为大弦也（内带大差为分母）。又置甲南行幂内减大差幂而半之，得�为大勾也（带大差分母）。又以大差乘股六百步得�，并入大勾得�为大和也（带大差分母）。乃先以小弦乘大和得下式�（寄左）。又以小和�乘大弦得�为同数，与左相消得下�。开立方得一百二十步，即半径也。合问。
依前问：假令乙出东门南行，丙出南门东行，各不知步数而立（隻云丙行步多于乙行步）。甲从乾隅南行六百步，望乙、丙与城参相直，乙複斜行就丙，行了一百二步与丙相会。问答同前。
法曰：以斜步乘甲行幂，又倍之为立方实，甲行幂内加斜行、南行相乘数为从方，甲南行为益廉，半步为隅。得全径。
草曰：别得相就步即小弦也，小弦得小和为直径也。立天元一为城径，以减于甲南行步得�为大差，以自之得�为大差幂也。置甲南行步以自之为幂，副之，上以加大差幂而半之得�为大弦也（内寄大差分母）。下以减大差幂而半之得�为大勾也（内寄大差分母）。乃置相就步在地，以大勾乘之得�，合大弦除，不除寄为母，便以此为小勾也，寄大弦母。又置斜步（即相就步也）。以甲南行乘之得�，合以大弦除之，不除寄为母，便以此为小股，而又以元分母大差乘之得�为同分小股也，隻寄大弦分母（其大勾内元有大差分母，其大股内却无分母，故今乘过，複以大差通之，齐分母也）。又置斜行步以大弦通之，得�为小弦也。上三位相并得�为城径也（内寄大弦分母。寄左）。然后置天元以大弦通之，得�为同数，与左相消，得�。开立方得二百四十步，即城径也。合问。
测圆海镜
卷六
○大勾一十八问
或问：乙从东门直行一十六步，甲从乾隅东行三百二十步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：甲东行内减二之乙东行，複以乘甲东行为实，四之甲东行内减二之乙东行为从，四益隅。得半径。
草曰：立天元一为半径，以二之加乙东行得■为中勾，以中勾减于甲东行得■为勾率也。其天元半径即股率也。置甲东行为大勾，以股率乘之得■元，合以勾率除之，不受除，便以此为大股（内带勾率分母）。再置天元以二之，以勾率乘之得■，减于大股馀■为股圆差于上（内有勾率分母）。又以二之天元减甲东行，得 ■为小差，以乘上位得■为半段黄方幂（内有勾率分母。寄左）。然后以天元自之，又以勾率乘之，又就分倍之，得■为同数，与左相消得■。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出东门南行三十步而立，甲从乾隅东行三百二十步，望乙与城参相直。问答同前。法曰：甲乙相乘为实，甲东行为从，二虚法。平开得半径。
草曰：识别具见大股第二问中。立天元为半径，内减乙南行得■为虚股，以乘通勾甲东行，得■为半段城径幂（寄左）。然后以天元自之，又就分二之得■为同数，与左相消得■。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出南门直行一百三十五步而立，甲从乾隅东行三百二十步望见乙。问答同前。
法曰：以乙南行乘甲东行幂为实，二之乙南行乘甲东行为从方，廉空，二步常法。得半径。
草曰：立天元一为半城径，以二之加于乙南行得■为股率，以天元减甲东行得■为勾率。乃置乙南行以勾率乘之得■，合股率除，不除便以此为小勾，此即半梯之头（内带股率分母）。又以勾率乘之，得■为半径幂（内带股率分母。寄左）。乃以股率乘天元幂，得■为同数，与左相消得■。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出南门东行七十二步，甲从西北隅取直东行三百二十步见乙。问答同前。法曰：二行相乘为实，以乙东行为从，一步常法。得半径。
草曰：立天元一为半城径，以减甲东行步，得■为梯底，以乙东行七十二步为梯头，以乘之得■为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得■。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙从西南隅直东行一百九十二步，甲从西北隅直东行三百二十步望见乙。问答同前。法曰：二行步相乘为实，二行相并为法。得半径。
草曰：立天元一为半径，副置之。上以减于乙东行得■为梯头于上，下位减于甲东行得■为梯底，以乘上位得■为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得■。上法下实即半径也。合问。
或问：乙从坤隅直南行三百六十步而止，甲从乾隅直东行三百二十步望见乙。问答同前。
法曰：二行步相乘倍之为实，二之甲东行为从，一步常法。得城径。
草曰：立天元一以为城径，加乙南行得■为股，二行步相并得六百八十步为弦，甲东行为勾。勾股相乘得■，又倍之得■为二直积（寄左）。然后以勾股弦相并得■为三事和，以天元乘之得■为同数，与左相消得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：东门南不知远近有树，甲从乾隅东行三百二十步，望树与城参相直，複就树斜行一百七十步至树。问答同前。
法曰：两段东行步幂内减两段东行斜行相乘数为实，二之东行为从，一益隅。
草曰：别得东行步即大勾，斜行步即小弦也。乃立天元一为城径，减东行步得■勾圆差也（今为小勾）。置东行步以斜步乘之得■，合以小勾除之。今不受除，便以此为大弦（内带小勾分母）。再置东行步以小勾乘之，得■为大勾，以减大弦得■为大差。合以小差乘之（缘内带小差分母），更不须乘，便以此为半段黄方幂（更无分母）。又二之得■为一段黄方幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
依前问：假令乙出东门南行不知步数而止，甲从乾东行三百二十步，望乙与城相直，複就乙斜行一百七十步。
法曰：以甲东行乘二行差幂为实，以甲东行乘二之二行差为益方，二之二行差为隅法。
草曰：识别得二行相减馀一百五十即半城径与乙南行共数也。得此数更不须用斜。立天元一为半径，减于二行差得■即半梯头也。又以二天元减甲东行步得 ■为勾率，又以一百五十为股率。乃置甲东行以股率乘之，得■，合勾率除，不除便以此为大股（内寄勾率分母）。再置天元以勾率乘之得■，以减于大股得■为半梯底也。头、底相乘得下■为半径幂也（内带勾率分母。寄左）。然后以勾率乘天元幂，得■为同数，与左相消得■。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：南门东不知远近有树，甲从乾隅东行三百二十步见树，複向树斜行二百七十二步至树。问答同前。
法曰：二之二行差乘二之甲东行为实，并二之二行差及二之甲东行为从，二步益隅。
草曰：别得二行相减馀四十八步即虚积之勾也。立天元一为城径，内减二之二行差，得■为梯头于上。再置甲东行步以二之，内减天元得■为梯底，以乘上位得■为城径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问（翻法在记）。
或问：甲从乾隅东行三百二十步而止，乙出南门直行不知步数望见甲，複就甲斜行四百二十五步与甲相会。问答同前。
法曰：二行步相减以乘东行步，得数，又以半之东行步乘之为实；以半之东行步乘东行步于上，以二行步相减馀乘东行步减上位为从；二之东行步为益廉，一步常法。得半径。
草曰：识别得二行相减是高积上勾股较（此勾即半径也）。又别得是高弦不及股圆差数乃立天元为半城径，以减东行步得■为中勾，其斜行步即中弦也。又置半城径以斜步乘之得■元，合以中勾除之，不受除，便以此为高弦（内寄中勾为母）。又以二行步相减，馀一百五步为高弦不及股圆差数，置此数以中勾乘之，得 ■，加入高弦得■为大差于上（内带中勾分母）。又倍天元减东行步得■为小差，又半之得■，以乘上位得■为半径幂（内有中勾分母。寄左）。乃以天元自乘，又以中勾乘之得■为同数，与左相消得■。以立方开得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：甲乙二人俱在乾隅，乙直南行不知步数而立，甲直东行三百二十步望见乙，複就乙斜行六百八十步与乙相会。问答同前。
法曰：以二行差乘甲东行步，又二之为实，以二之二行差为从，一步常法。
草曰：别得二行步相减馀三百六十步，即股圆差也。乃立天元一为圆径，以减于甲东行步，得■为小差，以东行斜行差三百六十步乘之，得■，又倍之得■为一段城径幂（寄左）。乃以天元幂与左相消，得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：东门外不知远近有树，甲从乾隅东行三百二十步，望树与城参相直，複就树斜行一百三十六步至树。问答同前。
法曰：倍二行相减数，内减甲东行，得数複以乘甲东行为实，倍二行差为从，二步虚常法。得半径。
草曰：识别得斜行步乃树至城心步也。立天元一为半径，加斜行步得■即树至城西门之步也。乃以减于甲东行得下■为小勾率，其天元半径即小股率，其斜步即小弦数也。再置甲东行步内减天元得■为梯底于上。又置梯底内减二之小勾率，得■，以乘上位得■为半径幂（寄左）。乃以天元幂与左相消，得下式■。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：南门外不知步数有槐树一株，甲从乾隅直东行至柳树下，望见槐树，複斜行至槐树下，甲自云：“我共行了七百四十五步。”乙从坤隅南行望见槐柳与城参相直，複斜行至槐树下，乙自云：“我南行步多于斜行步一百五步。”
法曰：甲东行减于甲斜行，以乘甲东行，得数複以乘二之甲东行为实；半之甲东行，以乘二之东行于上，甲东行减于甲斜行，馀複以乘甲东行，又倍之，减上位为从方；二之甲东行为益廉，五分隅法。
草曰：识别得一百五步是大差多于高弦数，又为高弦上勾股差数。又别得是甲斜行多于东行数也。乃副置甲共行七百四十五步在地，其上位加一百五步而半之，得四百二十五步即甲斜行也。其下位减一百五步而半之，得三百二十步即甲东行也。乃立天元一为圆径，以半之减于甲东行步，得■为中勾，其甲斜行四百二十五步即中弦也。再置天元以半之为小勾，以中弦乘之得■，合以中勾除，不除便以为高弦于上（内带中勾分母）。别置乙多步一百五步，以中勾乘之得■为大差多于高弦数也。以加入上位得下式■为一个大差也。置甲东行以天元减之，又倍之得■为两个小差，以乘大差得下■为一段黄方幂（内带中勾分母。寄左）。然后置天元幂以中勾通之，得■，与左相消得■。开立方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：出南门直行，不知步数有槐树一株；出南门东行，不知步数有柳树一株；槐柳斜相距一百五十三步。甲从乾东行三百二十步，望槐、柳与城参相直。问答同前。
法曰：二行相乘讫，又以乘甲东行幂为实；斜行乘甲东行幂，又三之为从方；甲东行幂内减两段二行相乘数为第一廉，二之甲东行为益二廉，二步常法。开三乘方，得半径。
草曰：立天元一为半径，以二之减于甲东行，得■为小差，以自之得■，加于甲东行幂，複半之得■为大弦（内带小差分母）。又置斜相距步，以大勾乘之得 ■太，合大弦除，不除便以此为小勾（内带大弦分母）。乃以天元减甲东行数，得■为半梯底，以乘小勾半梯头，得■为半径幂于上，此半径幂内有大弦分母，此大弦分母元带小差分母，故先用小差分母以乘上半径幂，得■为半径幂也，内隻带本大弦分母（寄左）。然后以大弦乘天元幂，得■为同数，与左相消得下■。开三乘方得一百二十步，即半城径也。合问。
或问：甲从乾隅东行三百二十步而止，丙出东门南行，乙出东门直行各不知步数而立，甲回望乙、丙悉与城参相直，既而乙就丙斜行三十四步相会。问答同前。
法曰：甲东行再自之于上，以二之斜行步乘甲东行幂减上位为立方实，两段东行幂内减两段东行、斜行相乘数为益从，以甲东行加五为从廉，五分虚隅。得全径。
草曰：立天元一为城径，以减于甲东行步，得■为小差，以自之得■为小差幂也。乃置甲东行幂内加小差幂而半之，得■为大弦也（内带小差分母）。又置甲东行幂内减小差幂而半之，得■为大股也（内带小差分母）。乃置斜行步在地，以大股乘之得■，合以大弦除之，不除而又倍之得■为梯头也（即两个小股内寄大弦为母。权寄）。乃置天元圆径以半之，以小差分母通之，得■，以减于大股，馀得■元，又倍之得■元为梯底也（即两个边股，内亦有小差分母）。以乘权寄得■为城径幂也（内寄大弦及小差分母。寄左）。然后以天元自之为幂，以大弦通之，又以小差通之得■为同数，与左相消得■。开立方得二百四十步，即城径也。合问。
依前问：假令东门外有树，乙出东门南行，不知步数而立（隻云树去城步少于乙南行步）。甲从乾隅向东行三百二十步，望乙与树悉与城参相直，乙複就树斜行三十四步到树。问答同前。
法曰：甲东行自之，又以斜步乘之为立方实；以斜行乘甲东行于上，以半段甲东行幂内减上位为从；廉空，半步常法。得勾圆差。
草曰：别得乙斜行即Ａ１弦也，Ａ１弦得小勾股即大股弦较也。乃立天元一为勾圆差，以自之为幂，副之，上以加于甲东行幂而半之，得■为大弦也（寄小差分母）。下以减于甲东行幂而半之，得■为大股也（寄小差分母）。乃置斜步以大股乘之，得■，合大弦除，不除便以此为小股（寄大弦分母）。又置斜步以甲东行乘之得■太，合大弦除，不除便以此为小勾，而又以通母分通之得■元为同分小勾也（寄大弦分母。注：大股乘时有小差分母，今大勾无母，故又以齐同之）。又置斜步以大弦通之得■为同分小弦也。三位相并得■为勾圆差也（寄左）。然后置天元以大弦通之，得■为同数，与左相消得■。开立方得八十步，即勾圆差也。以勾圆差减于甲东行步，馀二百四十即城径也。合问。
或问：南门外不知步数有树，甲从乾东行三百二十步而立，乙出西门便南行，望树及甲与城参相直，却就树斜行二百五十五步至树。问答同前。
法曰：二行相乘于上，以半之甲东行乘之为实；二行相乘于上，又半之甲东行以乘甲东行加上位为益从；甲东行为从廉，一步虚法。开立方得半径。
草曰：立天元一为半径，便以为小勾，其斜行即小弦也。乃以甲东行为大勾，以小弦乘之，複以天元除之得■即大弦也。又倍天元减东行馀■为小差，以减大弦，馀■为大股也。又倍天元以减股，馀■为大差也。却以半小差■乘之得下式■为半径幂（寄左）。乃以天元幂与左相消，得下式■。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：南门外不知步数有槐树一株，东门外不知步数有柳树一株。槐柳相距二百八十九步，甲从乾东行三百二十步，斜望槐柳与城参相直。问答同前。
法曰：二行相乘，得数又自增乘为实；斜步幂乘甲东行，又倍之为益从；两行相乘又倍之为益廉，二之斜步为第二廉，二步常法。开三乘方得柳至城心步。
草曰：别得柳至城心步即甲立处至柳树步也。立天元一为柳至城心步，加斜步得■为底弦，以天元乘之得■，合斜步除，不除便以此为底勾（寄斜步分母）。乃再置通勾以斜步乘之得■太为带母通勾，内减底勾馀式■为半径，以自之得■为半径幂，内带斜步幂分母（寄左）。乃以天元减斜步得■为明弦，以天元乘之得 ■，合斜步除，不除便以此为半梯头（寄斜步为母）。複以底勾半梯底乘之，得■为同数，与左相消得■。开三乘方得一百三十六步，即柳至城心步也。合问。
或问：甲从乾隅东行三百二十步而立，乙出城东行，丙出城南行，三人相望俱与城相直。乙丙共行了一百五十一步。问答同前。
法曰：以甲东行为幂，折半，又以自之为三乘方实；倍共步加甲东行，以乘半段甲行幂为从方；甲行乘共数为从廉，甲东行加五为第二益廉，二分五厘常法。得小差。
草曰：别得乙丙共行步即明股Ａ１勾共也。立天元一为小差，以自之，副置二位。上位减于甲东行幂，以天元除之，又折半得■即大股也。下位加甲行幂，以天元除之，又折半得■为大弦也。其甲东行即大勾也。并大勾、大股得■即大和也。再立天元以减甲东行步，得■即圆径也。以圆径加共步，得■即皇极和也（即小和，又为高弦平弦共数）。又倍之得■即黄长弦、黄广弦共也，内减大弦得下式■为皇极内小黄方也（亦为虚弦）。再置大和■以小黄方乘之，得下式■，合以小和除之，不除便以此为城径，内寄小和为母（寄左）。然后以天元减甲东行得■为大黄方，以小和乘之得■为同数，与左相消得■。开三乘方得八十步即小差也。以小差减甲东行，馀二百四十步，即城径也。合问。
或问：丙出南门东行，乙出东门南行，各不知步数而立。甲从乾隅东行三百二十步，望乙、丙悉与城参相直。乙就丙斜行一百二步相会。问答同前。
法曰：甲东行自之于上，倍斜行步乘之为立方实；倍斜行步乘甲东行于上，加两段甲东行幂为从；四之甲东行为益廉，四为隅法。得半城径。
草曰：别得斜步即小虚弦，减于全径即小和也。乃立天元一为半径，以二之减于甲东行得■为小差也。以自之得■为小差幂也。置甲东行幂内加小差幂而半之，得下■为大弦（内带小差分母）。置甲东行幂内减小差幂而半之，得■为大股也，内亦带小差为母。又以小差乘大勾得■，并入大股得■为大和也（带小差母）。乃先以小弦乘大和得下■（寄左）。次以斜步减于二天元得■为小和，以乘大弦得下式■为同数，与左相消得■。开立方得一百二十步，即半城径也。合问。
依前问：假令乙出东门南行，丙出南门东行，各不知步数而立（隻云丙行步多于乙行步）。甲从乾隅东行三百二十步，望乙、丙与城参相直。其乙、丙共行了一百二步。问答同前。
法曰：倍共步以乘甲东行幂为立方实；共步乘甲东行于上，又以甲东行自之，加上位为益从；甲东行为从廉，五分虚常法。得城径。
草曰：别得共步便为小弦，得小勾、小股即与圆径同。立天元为城径，以减甲东行得■为小差，以自之得■为小差幂也。乃置甲东行以自之为幂，副之。上以加小差幂而半之，得■为大弦也（内寄小差分母）。下以减小差幂而半之，得下■为大股也（内寄小差分母）。乃置共步在地，以大股乘之得■，合大弦除，不除便以此为小股也（寄大弦分母。）又置共步，以甲东行乘之得■，合以大弦除，不除便以此为小勾，而又以元分母小差乘之，得■为同分小勾也（隻寄大弦分母。注：其大弦内元带小差分母，其大勾内却无分母。故今乘过，複以小差通之，齐同其分母也）。又置共步以大弦通之，得■，同分小弦也。三位相并得■为城径也（内有大弦分母。寄左）。然后置天元城径，以大弦分母通之，得■为同数，与左相消得■。开立方得二百四十步，即城径也。合问。
测圆海镜
卷七
○明Ａ１前一十八问
或问：出南门东行七十二步有树，出东门南行三十步见之。问答同前。
法曰：倍南行以乘倍东行为平实，并二行又倍之为从，一虚隅。得城径。
草曰：识别得此问名为弦外容圆，又为内率求虚唬粒保其二行步相并为虚弦，若以相减即虚较也。又倍东行为弦较和，倍南行即弦较较，此二数相乘则两虚积也。若直以二行相乘，则半个虚积也。又倍东行减于城径，馀即二虚勾也。倍南行减于城径则二虚股也。虚积上三事和即城径也。乃立天元一为圆径，便以为三事和也。倍二行步减之，得■为黄方一，天元乘之得■为二虚积（寄左）。然后倍东行以乘倍南行，得八千六百四十为同数，与左相消得■。益积开平方得二百四十步，即城径也。合问。
又法：二行步相乘为实，二行步相并为从，一步虚法。得半径。
草曰：立天元一为半径，副置二位。上加东行步得■为大差勾，下加Ａ１股得■为小差股。此二数相乘得下式■为半段黄方幂（寄左）。然后立天元以自之，又二之，与左相消得■。益积开平方得一百二十步，即半城径也。
又法：二云数相乘倍之于上，加云数差幂，权寄。并二云数又自增乘，得数内减上位为平实，并云数而倍之为从，二步益隅。得半径。
草曰：立天元一为半径，副之。上减明勾得下■为虚勾，下减Ａ１股得■为虚股。勾股相乘得■，又倍之得■，又加二行差幂■，得■为弦幂（寄左）。然后并云数，以自之得■于太极位，为同数，与左相消得■。益积开平方得一百二十步，即半城径也。
又法：云数相乘又倍之为平实，云数相减为从，一常法。得虚勾。
草曰：立天元一为虚勾。以南行减东行馀四十二步为虚较也。以虚较加天元得■为虚股，以天元乘之得下■为直积（寄左）。然后倍南行乘东行得■，与左相消得■。开平方得四十八步，即虚勾也。以勾除积得九十步，即虚股也。并勾股得■为虚和也，内加入二行并■得■，即圆径也。
又法：并二行步以自乘于上，又倍南行乘倍东行，加上位为平实，一隅法。得小和。
草曰：立天元一为小和。并二行步加之得■为三事和也。倍二行步而并之得■，以减三事和，馀■为黄方，却以三事和乘之，得下■为二虚积也（寄左）。乃倍南行以乘倍东行，得■为同数，与左相消得■。开平方得一百三十八步，即虚和也。加入二行步得二百四十步，即城径也。合问。
或问：丙出南门直行一百三十五步而立，甲出东门直行一十六步见之。问答同前。
法曰：以丙行步一百三十五再自之，得二百四十六万○三百七十五于上。又以甲行一十六乘丙行幂一万八千二百二十五，得二十九万一千六百，以乘上位，得七千一百七十四亿四千五百三十五万为三乘方实；以二行步相乘又倍之得四千三百二十，以乘丙行步再自之数，得一百六亿二千八百八十二万为益从；第一廉空；以甲行乘丙行幂，得二十九万一千六百，又倍之得五十八万三千二百于上，四之甲行幂一千○二十四，以乘丙行步，得一十三万八千二百四十，减上位馀四十四万四千九百六十为第二廉；二行步相乘得二千一百六十为虚常法。得丙行步上勾弦差八十一。
草曰：识别二数相并，得一百五十一。以减于皇极弦，馀一百三十八，即虚勾虚股并也。若以二数相减，馀一百一十九为高弦内减平弦，又为皇极弦内少个小差弦，又为大差弦内减个皇极弦也。立天元一为丙行大差数。置丙行步一百三十五，自乘得■，用天元除之，得■为勾弦并也。上减天元得■为二丙勾也。複用丙南行乘之，得■为二积也。又以天元除之，得■为丙勾外容圆半（泛寄）。别置丙南行用二甲勾乘之，得■太，合用二丙勾除之。不受除，便以此为甲股（内寄二丙勾为分母）。複用二甲勾三十二乘之，得■太为二个甲直积也。又置丙南行内减天元，得■为黄方，以自乘得■为丙上勾弦差乘股弦差二段，以天元除之得■为两个丙小差也。乃用甲股乘之，得下式■。複用丙南行除之，得 ■，又折半得下式■为一个甲步股弦差也，内亦带前二丙勾分母。複置两个甲直积，内已寄此甲股弦差分母，便为甲步股外容圆半（寄左）。乃再置先求到泛寄，用甲股弦差分母乘之，得■为同数，与左相消得下式■。开三乘方得八十一步，即丙步上勾弦差也。《钤经》载此法，以勾弦差率幂减丙行幂，複以丙行乘之为实，以差率幂为法，如法得径。此法隻是以勾外求圆半。合以大差除倍积，而今皆以大差幂为分母也。依法求之，勾弦差八十一自之得六千五百六十一，以减于丙行幂一万八千二百二十五，馀一万一千六百六十四，複以丙行一百三十五乘之，得一百五十七万四千六百四十为实，以大差幂六千五百六十一为法，如法得二百四十步，即城径也。
又法：二行相乘，得数又自之为三乘方实；并二行步以乘二行相乘数，又倍之为从；二行相并数以自乘于上，又二行相减数自乘减上位为第一廉；第二廉空，一益隅。益积开之，得半径（其第一廉隻是四段二行相乘数）。
草曰：立天元一为半城径，副置之。上加南行步得■为股，下位加东行步得■为勾。勾股相乘得■为直积一段。以天元除之得■为弦，以自之，得■为弦幂（寄左）。乃以勾自之，得■，又以股自之，得■，二位相并得■为同数，与左相消，得■。益积开三乘方，得一百二十步，即半城径也。
又法：条段同前。
草曰：依前求得勾股率。置出南门步为小股，以勾率乘之得■，合以股率除，不除寄为母，便以此为半梯头于上。又置南行步加二天元，得■为大股，以勾率乘之，得■，合以股率除，不除寄为母，便以此为梯底。以乘上位，得■为半径自乘数，内带股率幂为母（寄左）。然后置天元以自之，又以股率幂乘之，得下■ 为同数，与左相消。所得一如前答。
又法：以二行差幂数自乘，又倍之为实；并二行步以乘二行差幂，又四之为益从；四段南行幂内减二段差幂于上，又二段差幂内减四段东行幂，馀以减上位为第一廉；四之二行共为第二廉，二步虚法。益积开之，得皇极弦二百八十九。
草曰：立天元一为皇极弦，以自之为弦幂于上。以二行步相减馀■，以自之，得■为较幂，以减上得■为二直积。複以天元除之，得■为一个城径也，副置之。上位加二之东行步，得■为二勾也。以自增乘得■为四段勾幂于上。下位加二之南行，得■为二股也。以自增乘得■为四段股幂也。并入上位得下式■为四段弦幂（寄左）。然后以天元为幂，就分四之为同数，与左相消得下■。益积开三乘方，得二百八十九步即皇极弦也。欲见城径者，别立天元半径，副之。加东行为勾，加南行为股，勾股各为幂，并之，与弦幂相消，开方得半城径也。
又法：以二行差一百一十九自乘，得一万四千一百六十一为差幂。以东行步乘之，得二十二万六千五百七十六为泛率，又自增乘得五百一十三亿三千六百六十八万三千七百七十六为五乘方实。倍东行步得三十二，以二行差一百一十九乘之得三千八百八为小泛。以乘泛率，又倍之得一十七亿二千五百六十○万二千八百一十六为从方。并两行而倍之，得三百二，以乘泛率，得六千八百四十二万五千九百五十二于上位，以小泛幂一千四百五十万○八百六十四加入上位，共得八千二百九十二万六千八百一十六为第一廉。并两行而倍之，得三百二，以乘小泛，得一百一十五万○○一十六为寄数。倍二行差以乘差幂得三百三十七万○三百一十八，内减寄数馀二百二十二万○三百○二为第二益廉。六段二行差幂八万四千九百六十六，内减二行并数幂二万二千八百一，馀六万二千一百六十五为第三益廉。六之二行差七百一十四为第四益廉，二步虚法。得Ａ１弦三十四步。
草曰：立天元一为皇极弦上股弦差（即东行步上斜也，亦谓Ａ１弦）。以天元加二行差，得■，即明弦也（此即皇极弦上勾弦差也）。以天元乘之，又倍之得 ■，即皇极内黄方幂也（泛寄）。置皇极弦上勾弦差以东行步乘之，得■，以天元除之，得■为明勾也。又置天元以南行乘之，得■，合用明弦除，不除寄为母，便以此为Ａ１股于上（寄明弦母）。乃再置明勾以明弦乘之，得■，亦为带分明勾，加入上位，得■，即是一个虚弦也。以自增乘得下式■为一段虚弦幂也，内带明弦幂分母（寄左）。然后置明弦以自之，得■为明弦幂，以乘泛寄，得■为同数，与左相消得下式■。开五乘方，得三十四步为东行步上斜步也（即Ａ１弦）。其东行步得■，即Ａ１勾也。勾弦各自为幂，以相减馀九百步，开方得三十步即Ａ１股也。既各得此数，乃以股外容圆半法求圆径，得二百四十步即城径也。合问。
或问：出东门一十六步有树，出南门东行七十二步见之。问答同前。
法曰：二行步相减得数，以自之于上。又以出东门步自之，减上位为平方实，二之出南门东行步为益从，一步常法。翻开得半径。
草曰：别得人到树即平弦也，半圆径即平股也。其东行七十二步则平勾平弦差也。乃立天元一为半圆径，加一十六减七十二，得■为勾也。以自之得■为勾幂。又加入天元股幂得■为弦幂（寄左）。再立天元一为半径，加出东门步，得■即弦也。以自之得■为同数，与左相消得■。翻法开之得一百二十步，即半城径也。合问。
或问：出南门一百三十五步有树，出东门南行三十步见之。问答同前。
法曰：树去城步内减南行步，馀以为幂于上，又以树去城步为幂内减上位为平实，倍树去城步为从，一虚隅。翻法得半城径。
草曰：别得人距树即高弦也，半圆径即高勾也，其南行三十步即高弦上小差也。乃立天元一为半径，加树去城步为弦，内减小差■，得■即股也。以自之得■ 为股幂，内加入天元幂，得■为弦幂（寄左）。再置弦■以自之，得■为同数，与左相消，得式■。翻开得一百二十步，即半城径也。合问。
或问：乙出东门不知远近而立，甲出南门东行七十二步望见乙，就乙斜行一百三十六步与乙相会。问答同前。
法曰：以斜行步自之于上，以二行相减馀自为幂，减上位为平实，从空，一步常法。如法得半径。
草曰：别得七十二步即大差也，斜行即弦，半径即股也。立天元一为半径，以自之为股幂，又以二行差六十四以自之得■为勾幂。并二幂得■为弦幂（寄左）。然后以斜行步自之，得■为同数，与左相消得■。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：甲出南门不知远近而立，乙出东门南行三十步望见甲，却就甲斜行二百五十五步与甲相会。问答同前。
法曰：二行差自之为幂，以减于斜行幂为平实，一虚隅。得半径。
草曰：别得南行步即股弦差也，斜步即弦也，半径即勾也。乃立天元一为半城径，以自之为幂。以二行相减馀二百二十五，以自之得■为股幂。二幂相并得■ 为弦幂（寄左）。然后以斜行步自之，得■为同数，与左相消得下■。开平方得一百二十步，即半径也。合问。
或问：甲出南门东行不知步数而立，乙出东门南行三十步望见甲，斜行一百二步相会。问答同前。
法曰：二行相减，馀以乘乙南行，四之于上，又加入斜行幂为平实。得虚和一百三十八。
草曰：别得斜步内减南行为甲东行步也。此问以弦外容圆入之，以二行相减数乘乙南行三十步，得■，又四之，得■为二直积也。又加入斜步幂■，共得■即和幂也。平方而一，得一百三十八步，即虚和也。又加斜步得二百四十步，即城径也。合问。
或问：乙出东门南行不知步数而立，甲出南门东行七十二步望见乙，斜行一百二步与乙相会。问答同前。
法曰：倍相减步以乘倍东行，得数複以减于斜步幂，馀为实。平方而一，得较也。又以二行相减数乘倍东行为平实，以较为从方，得勾。勾较共为长，又以斜步并入勾股共，即城径。
草曰：别得二行相减馀■为乙南行步也。以此数又减于甲东行，馀四十二步即较也。又以二行相减数■乘倍东行得■为平实，以较为从。平方开得四十八即勾也。勾内加较得九十步即股也。勾股共得一百三十八，又加入斜步，共得二百四十步，即城径也。合问。
或问：乙出南门东行，甲出东门南行，两相望见。既而乙云：“我东行不及城径一百六十八步。”甲云：“我南行不及城径二百一十步。”问答同前。
法曰：半甲不及步以自之为幂，半甲不及步内减差以自之为幂。二幂相并内却减差幂为平实，四之甲不及内减三之乙不及，馀为益从，三步半虚法。得甲南行。
草曰：别得乙不及为虚勾、半径共，又为径内减明勾也。甲不及为虚股、半径共，又为径内减Ａ１股也。又二云数相并为虚和、圆径共也，云数相减即虚较也。乃立天元一为甲南行，以减于甲不及步又半之，得■为虚股也。虚股内减虚较得■为虚勾。勾自之得■为勾幂也，又股自之得下式■为股幂也。二幂相并得■为弦幂（寄左）。然后以天元加虚较得■为乙东行。又加入天元甲南行得■为虚弦，以自之得■为同数，与左相消得■。开平方得三十步，即甲南行也。内加少步，即城径也。合问。
或问：丙出南门直行，甲出东门直行，两相望见。既而丙云：“我行少于城径一百五步。”甲云：“我行少于城径二百二十四步。”问答同前。
法曰：二少步相乘讫，又自乘为实；六之共步，乘云数相乘数为益从；十八之云数相乘于上，又三之共步，自乘加上位，内複减丙少步幂、甲少步幂为从廉；四十八之共步为益二廉，六十三步常法。翻法开三乘方，得一百二十步，即半径。
草曰：别得云数共减于倍城径为甲丙共行数。又云数相减即皇极差，亦为甲行不及丙行数。立天元一为半城径，以三之，副置二位。上位减丙少步，得■为皇极股也，下位减甲少步得■为皇极勾也。勾股相乘得■，以天元除之，得■为弦也。弦自之得■为弦幂（寄左）。然后以股自之得下■为股幂于上，又以勾自之得 ■为勾幂，并以加入上位，得■为同数，与左相消得■。翻法开三乘方得一百二十步，即半城径也。合问。
或问：甲出东门直行，乙出南门直行，各不知步数而立。乙望见甲，就甲斜行了二百八十九步与甲相会。其二直行共得一百五十一步。又云甲直行少于乙直行。问答同前。
法曰：斜幂内减共步幂为平实，倍共步内减斜步为从，一常法。得径。
草曰：别得共数、城径并即皇极和也。立天元一为圆径，加共步得■为皇极和，以自之，得■于上。以斜行幂■减上位馀■为二直积（寄左）。然后以天元乘斜步得■，与左相消得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲出东门直行，乙出东门南行，丙出南门直行，丁出南门东行，各不知步数而立。四人遥相望，悉与城参相直。隻云甲、丙共行了一百五十一步，乙、丁立处相距一百二步。又云丙直行步多于甲直行步。问答同前。
法曰：共步、距步相减，得数自之于上，以共步为幂内减上为平实，二之距步内减共步、距步差为从，一步虚法。得城径。
草曰：别得共步得城径即皇极和也，相距步即虚弦也。皇极和内减虚弦即皇极弦也。又共步、距步差■即皇极弦内减城径也（此名旁差）。乃立天元一为城径，加共步得■为皇极和也，以自之得■于上，以共步、距步差■加天元得■为皇极弦也，以自之得下式■，减上位馀得■为二直积（寄左）。然后以天元径乘皇极弦，得■为同数，与左相消得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲出南门东行不知步数而立，乙出东门南行望见甲，複就甲斜行，与甲相会。乙通计行了一百三十二步，其乙南行步不及斜行七十二步，其甲东行却多于乙南行。问答同前。
法曰：倍不及步在地，以不及步减通步以乘之为实，以四之不及步为法。得乙南行三十步。
草曰：别得乙南行即Ａ１股也，以减通步即虚弦也，以减不及步即虚较也，其不及步即甲东行也。立天元一为乙南行，置不及步以天元乘之，又四之得■元为二直积（寄左）。然后倍不及步以为弦较和于上■。以不及步减通步得■为弦较较。以乘上位得■太为同数，与左相消得■。上法下实，得三十步为乙南行也。馀各以数求之。
又法：别得通行步为两个乙南行、一个甲东行共也。其不及步即东行步也。云步相并即两个虚弦，相减即两个乙南行也。
或问：甲出南门东行不知步数而立。乙出东门南行，望见甲，複斜行与甲相会。二人共行了二百四步，又云甲行不及共步一百三十二。问答同前。
法曰：别得二行共即两个虚弦也，其不及步即乙南行与一虚弦共也。置不及步内减一弦馀三十步，即乙南行也。以乙南行反以减虚弦，馀七十二步即甲东行也。以乙南行减甲东行馀即虚较也。
此问无草。
或问：乙出东门南行，甲出西门南行，甲望见乙，斜行五百一十步相会。乙云：“我南行少于城径二百一十步。”问答同前。
法曰：少步幂为平实，四斜步内减二少步为益从，五步常法。得乙南行。
草曰：别得少步为径内减Ａ１股。立天元一为乙南行，以二之减于倍斜行步，得■为梯底也。以二之天元乘之，得■为径幂（寄左）。再置天元加少步，得下式■为城径，以自之得■，与左相消得■。开平方得三十步，即乙南行也。加少步即城径也。合问。
或问：乙出南门东行，甲出北门东行，甲望见乙，斜行二百七十二步与乙相会。乙云：“我东行不及城径一百六十八步。”问答同前。
法曰：以不及步幂之为实，四斜内减二之不及步为虚从，五常法。平开得乙东行七十二步。
草曰：别得不及步为城径减明勾也。立天元一为乙东行，以倍之减于二之斜行步，得下■为梯底也。倍天元乘之，得■为径幂（寄左）。再置天元加不及步，得■为城径，以自之得■为同数，与左相消得■。开平方得七十二步，即乙东行也。加入少步即城径也。合问。
或问：乙出南门东行，丁出东门南行，却有甲丙二人共在西北隅，甲向东行，丙向南行，四人遥相望见，俱与城参相直。既而相会，甲云：“我多乙二百四十八步。”丙云：“我多于丁五百七十步。”问答同前。
法曰：二多步相乘为平实，并二多步而半之为从，七分半常法。得城径。
草曰：别得甲多步为大勾内减明勾也，丙多步为大股内少Ａ１股也。又乙东行得一虚勾为半径，丁南行得一虚股为半径。又二多数相并得■为大和内少虚弦也，又二少数相减馀■为两个角差。又甲多步内减半径即勾方差也，丙多步内减半径即股方差也。立天元一为城径，以半之减于甲多步得■为勾方差，又以半径减于丙多步得■为股方差。二差相乘得■为径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得下式■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲丙二人俱在西北隅，甲向东行，丙向南行。又乙出南门东行，丁出东门南行，各不知步数而立。四人遥相望见，悉与城参相直。既而相会，甲云： “我与乙共行了三百九十二步。”丙云：“我与丁共行了六百三十步。”问答同前。
法曰：甲乙共自之为幂，丙丁共自之为幂，二幂又相乘为三乘方实。甲乙共自之为幂，以丙丁共乘之于上。又以丙丁共自之为幂，以甲乙共乘之加上位为益从。甲乙共自之为幂，丙丁共自之为幂，并，以七分半乘之于上。又以甲乙共乘丙丁共，得数减上位为第一益廉。并二共数，以七分半乘之为第二廉。以七分半自之，得五分六厘二毫五丝于上位。以一步内减上位，馀四分三厘七毫五丝为虚隅。得城径。
草曰：别得甲为大勾，乙为明勾，丙为大股，丁为Ａ１股也。甲乙共内减半径即是黄长弦也，丙丁共内减半径即黄广弦也。黄长弦、黄广弦二数相减，馀为两个皇极差也。乃立天元为城径，半之副置二位。上以减于甲乙共数，得■即黄长弦也，以自之得■为黄长弦幂也，内减天元一幂，馀得下式■为勾方差幂也。下位以减于丙丁共，得下式■即黄广弦也，以自之得■为黄广弦幂也，内减天元一幂，馀得■为股方差幂也。再以勾方差幂、股方差幂相乘，得■为径幂（寄左）。然后以天元为幂，又以幂自之，与左相消得下式■。开三乘方得二百四十步，即城径也。合问。
测圆海镜
卷八
○明Ａ１后一十六问
或问：出南门向东有槐树一株，出东门向南有柳树一株。丙丁俱出南门，丙直行，丁往至槐树下。甲乙俱出东门，甲直行，乙往至柳树下。四人遥相望见，各不知所行步数隻云丙丁共行了二百七步，甲乙共行了四十六步，又云甲丙立处相距二百八十九步。问答同前。
法曰：以二共相减数又以减距数为实，二为法。得平勾■。
草曰：识别得丙丁共即明和也，甲乙共即Ａ１和也，相距步即极弦也。二共相并即极弦内少个虚黄也，又为极和内少个虚和也。二共相减馀为平勾高股差也，又为虚差极差共也，又为通差内减极差也。立天元为平勾，加入二共相减数，得■为高股，又加天元得■为极弦（寄左）。以相距步二百八十九与左相消，得 ■。上法下实，如法得六十四，即平勾也。以二共相减数加平勾得二百二十五为高股，複以平勾乘之，得一万四千四百步。开平方得一百二十步，即城半径也。合问。
又法：二共数并，以减相距数，馀者半之为泛率。以泛率加丙丁共为长，以泛率加甲乙共为阔。长阔相乘为平方实。得半径。
草曰：置极弦内减二共并数，馀三十六步即虚黄也。半之，副置二位。上以加明和得二百二十五步为高股也，下以加Ａ１和得六十四步为平勾也。二位相乘得一万四千四百步。开平方得一百二十步，即半径也。合问。
或问：依前见丙丁共二百七步，甲乙共四十六步。又云二树相去一百二步。问答同前。
法曰：以甲乙共乘树相去步，得数又以自之为平实；从空；并二共数为幂于上，内减甲乙共自之数、丙丁共自之数为益隅。得Ａ１弦■。
草曰：识别得两树相去步即虚弦也。馀数具前。立天元一为Ａ１弦。置明和以天元乘之，合Ａ１和除，不除，便以■元为明弦也（内带Ａ１和分母）。乃置虚弦以分母Ａ１和乘之，得■太，加入明弦，得■为极股也，内带Ａ１和分母。以自之得下式■为极股幂（内寄Ａ１和幂为分母）。又以天元加虚弦得下■为极勾，以自之得■。又以Ａ１和幂■乘之，得■为勾幂也。勾股幂相并得■为两积一较幂也，内有Ａ１和幂分母（寄左）。然后置明弦■元于上，以Ａ１和乘天元加上位，得 ■元为二弦并也。又置虚弦以Ａ１和乘之得■太，并入上位，得下式■为极弦，以自之得■为同数，与左相消得■。开平方得三十四步，即Ａ１弦也。
又法：以树相去步自之，又以甲乙共乘之为平实，从空，倍丙丁共为虚隅。得Ａ１弦■。
草曰：立天元一为Ａ１弦。依前术求得明弦■元，便以为皇极勾弦差也（内带Ａ１和分母）。以天元Ａ１弦便为皇极股弦差，以乘之，又倍之，得■为虚弦幂（内有Ａ１和分母。寄左）。然后以虚弦自之，又以分母■乘之，得四十七万八千五百八十四为同数，与左相消得■。开平方得三十四步，即Ａ１弦也。合问。
或问：皇极大小差共一百八十七步，明黄、Ａ１黄共六十六步。问答同前。法曰：后数自乘为实，前后数相减，馀为法。得虚黄方三十六。
草曰：别得一百八十七即明Ａ１二弦共也，其六十六即太虚大小差共也。又二数相并，得■即明、Ａ１二和共。若以相减，馀■即明、Ａ１四差共也。立天元一为太虚黄方麵，加二黄共，得■即虚弦也。倍虚弦又加天元，得■即城径也。又以虚弦加皇极大小差，得■即极弦也，以极弦乘城径得■，为两段皇极勾股积（寄左）。再以极弦虚弦相并，得■，即皇极勾股共也，自之得■，内减皇极弦幂■，得■为同数，与寄左相消得■。上法下实，如法得三十六步，即太虚黄方麵也。合问。
或问：东门南有柳一株，南门东有槐一株。甲出东门直行，丙出南门直行。甲、丙、柳、槐悉与城参相直，既而甲就柳树斜行三十四步至柳树下，丙就槐树斜行一百五十三步至槐树下。问答同前。
法曰：云数相乘，倍之便为平方实，开方得虚弦一百二步。以此弦加甲行步即极勾，以此弦加丙行步即极股。馀各依法求之。识别：甲斜行即Ａ１弦也，丙斜行即明弦也。无草。
或问：东门南有柳一株，南门东有槐一株。甲出东门直行，丙出南门直行，二人遥相望，槐柳与城边悉相直。既而甲複斜行至柳树下，丙複斜行至槐树下，各不知步数。隻云丙共行了二百八十八步，甲斜行与柳至东门步共得六十四步。问答同前。
法曰：二云数相乘于上，以六十四步自之，又二之，减上位为平实。四之六十四于上，倍丙行内减上位为从。二十常法。得甲直行步一十六。
草曰：别得丙共步即明股、明弦和也，六十四即平勾也，内甲斜行即Ａ１弦也，柳至东门步即Ａ１股也。又二云数相并即明差与极弦共也，二云数相减即明差与平勾高股差共也。又平勾内减Ａ１勾即虚勾也。立天元一为Ａ１勾。置丙共步以天元乘之，複以六十四除之得■为明勾也。又以天元减于六十四，得■为虚勾也，并虚明二勾■为半径也。以自之得■，倍之得■为半段圆城径幂（寄左）。乃以天元加六十四，得■为勾圆差于上；又以明勾加丙共步，得■为股圆差于下。上下相乘得■为同数，与左相消得■。开平方得一十六步，即Ａ１勾也。此Ａ１勾乃甲出东门直行步也。馀皆依数求之。合问。
或问：东门南有柳树一株，南门东有槐树一株。甲出东门直行，丙出南门直行，二人遥相望，槐柳与城边悉相直。既而甲複斜行至柳树下，丙複斜行至槐树下，各不知步数隻云甲共行五十步，丙斜行与槐至南门步共得二百二十五步。问答同前。
法曰：以二百二十五步自之为幂，又以此幂自为幂于上。置甲共行以二百二十五步三度乘之，得数複折半，减上位为平实。置二百二十五步自之数，以二云数相减数乘之，又倍之于上。倍五十步在地，以二百二十五步自之数乘之，複折半加上位为益从。云数相减自乘于上，以云数相乘，複折半，减上位为常法。得明股 ■。
草曰：识别得甲共步即Ａ１勾、Ａ１弦共也，二百二十五即高股也，内丙斜行即明弦，槐至南门步即明勾也。又二云数相并即极弦内减一个Ａ１差也，云数相减即Ａ１差与高股、平勾差共也。又高股内减明股即虚股也。立天元一为明股，即丙出南门直行步也。置五十步以天元乘之得■元，合高股除。不除，便以此■元为Ａ１股也，内带高股■分母。再置高股内减天元得■为虚股，以分母高股乘之，得下式■，加入Ａ１股得■即半径也。以自增乘得下■为半径幂也。内带高股幂为母（寄左）。然后置甲共步以分母高股乘之，得■太，加入Ａ１股得■为勾圆差于上（内带高股分母）。又以天元加高股得■为股圆差于下。上、下相乘得■。又以分母高股乘之，得■，複折半得■为同数，与左相消得■。开平方得一百三十五步，即明股也。合问。
或问：通勾、通弦共一千步，Ａ１勾、Ａ１弦共五十步。问答同前。
法曰：置一千减二之五十步为泛率。以自乘，複半之于上。又置泛率複以五十乘之，加上位为平实。二十二之泛率于上。以四十二乘五十，得数内减泛率，加上位为益从。二百为常法。得Ａ１股■。
草曰：立天元一为Ａ１股。置一千以天元乘之，以五十除之，得■元为通股也。又以天元加五十步，得■即小差也，通股加小差得■即通弦也。以通弦减一千得■，即通勾也。以小差减通勾得■，即圆径也。以圆径减通股得■即大差也。置大差以小差乘之得■（寄左）。然后置圆径以自之得■，折半得■，与左相消得 ■。开平方得三十步，即Ａ１股也。合问。
或问：通勾、通弦共一千步，明勾、明弦共二百二十五步。问答同前。
法曰：以后数再自乘，又以前数乘之为平实；以后数为幂，複以前数乘之为从；以前数幂为虚常法。得明股■。
草曰：别得二百二十五步即高股也。立天元一为明股。置一千以天元乘之，合以高股除不受除，便以此一○○○元为通股（内带高股为母）。以天元加高股，得■即大差也。置大差以高股分母乘之，得■，即带分大差也。以此减于通股，馀■即圆径也。以自增乘，得■（寄左。内带高股幂分母）。然后置一千以高股分母通之，得■太，内减带分大差，得■为两个通勾也。内减两个圆径得■，为两个小差也。以带分大差乘之，得下式■为同数，与左相消得■。开平方得一百三十五步，即明股也。合问。
或问：通股、通弦共一千二百八十步，Ａ１股、Ａ１弦共六十四步。问答同前。
法曰：云数相乘为平实，前数为益从。置前数以后数除之，得二十为泛率。泛率减一以自乘于上，又倍泛率减一加上位为常法。倒积开得Ａ１勾一十六。
草曰：别得六十四步即平勾也。立天元一为Ａ１勾。置前数以天元乘之，以后数除之，得■元即通勾也。又置天元加后数，得■即小差也。以小差减通勾，馀 ■即圆径也。以自之得■（寄左）。然后以小差减于前数，得■为二通股。内减两个圆径，得■为二大差也。以小差乘之得下■，与左相消得■。开平方得一十六步，即Ａ１勾也。合问。
或问：通股、通弦共一千二百八十步，明股、明弦共二百八十八步。问答同前。
法曰：二数相减，以后数乘之，内减后数幂，又半之为泛率。以自之为平实。置前数加二之后数而半之为次率，以乘泛率，倍之于上，以后数乘泛率减上位为益从。次率自乘于上，以前数加次率，複以后数乘之，减上位为隅法。得明勾■。
草曰：别得二数相减，馀■为通勾、通股及明勾共也。立天元一为明勾。置前数以天元乘之，合以后数除之。不除，便以此■元为通勾也（内寄后数分母）。又以二数相减，得数内又减天元得■为通和也。乃以分母二百八十八之，得下式■，内减通勾，馀■为通股也。又以天元加后数，又以分母（即后数也）通之，得■ 为大差也。以此大差减于通股，得下式■，为一个圆径也。半之得■，以自之得■为半径幂（寄左）。然后以半圆径减通勾，得■为底勾，又以天元乘之，又以分母二百八十八之，得■为同数，与左相消得■。开平方得七十二步，即明勾也。合问。
或问：明股、明弦并二百八十八步，Ａ１勾、Ａ１弦并五十步。又云明股、Ａ１勾并多于虚弦四十九步。问答同前。
法曰：前二数相并，内减二之多步，即圆径。又隻以前二数相乘，便是半径幂。
草曰：识别得前二数相减而半之，即极差也。其多步名傍差，又为圆径不及极弦数。
或问：平差、高差共一百六十一步，明股、Ａ１勾并多于虚弦四十九步。问答同前。法曰：二数相减又半之，以自乘为实，后数为法。得平勾■。
草曰：立天元一为平勾。以加前数得■为高股也。又以天元加高股得■为极弦，内减后数得■，又半之，得■为半径。以自之，得■（寄左）。然后以天元乘高股，得■为同数，与左相消得■。上法下实，得六十四步，即平勾也。合问。
或问：平勾、高股差一百六十一步，明差、Ａ１差并七十七步。又云极弦多于城径四十九步。问答同前。
法曰：并上二位而半之为平率。其四十九即旁率也。副置平率，上加旁率，下减旁率，以相乘为实。倍旁差为法。得勾圆差■。
法曰：并上二位而半之，为平率。其四十九即旁率也。副置旁率，上以减于平率，下以减于前数，以相乘为实。倍旁差为法。得勾圆差■。
又法：求半径：副置平率，上加旁率，下减旁率，以相乘为实，倍旁差为法。得半径。
草曰：立天元一为半径，又为半之股圆差上弦较较，又为半之勾圆差上弦较和也。内减勾圆差上勾股较■，馀■为半之勾圆差上弦较较也。置股圆差上勾股较 ■，以半之勾圆差上弦较较乘之，得■（寄左）。然后以半之股圆差上弦较较乘勾圆差上勾股较，得■元为同数，与左相消得下式■。上法下实，得一百二十步，即半径也。合问。
草曰：识别得平勾、高股差名角差。副置角差，上加七十七而半之，得■，即极差也。下减七十七而半之，得■，即虚差也。角差加极差得■，即通差也。又极弦多于城径步名为旁差。副置角差，上加旁差得■，为两个高段上勾股较，下减旁差得■为两个平段上勾股较也。又副置极差，上加旁差得■为股圆差上勾股较，下减旁差■为勾圆差上勾股较也。立天元一为勾圆差。依法求得通差，加入天元得■即大差也。以天元乘之得■为半段圆径幂（寄左）。乃置大差■内减股圆差上勾股较■，馀有■为股圆差之勾于上。再置天元内加勾圆差上勾股较■，得■为勾圆差之股。以乘上位得■为同数，与左相消得■。上法下实，得八十步，即勾圆差也。
又依前问：见角差一百六十一步，见明差Ａ１差并七十七步，又见太虚弦较较六十步。问答同前。
法曰：前二数相减而半之，得数加入半之太虚弦较较为泛率，以自乘为平实。置一百六十一内减二之泛率为从，一常法。得平勾■。
草曰：别得■即二Ａ１股也。立天元一为平勾。先以前二数相减而半之，得■为虚差。以虚差加Ａ１股得■，即明勾也。以明勾加天元得■，为平弦，以自之得■，内减天元幂，得■为半径幂（寄左）。然后以天元加一百六十一为高股，以天元乘之，得■为同数，与左相消得■。开平方得六十四步，即平勾也。
又法曰：前数内加半之太虚弦较较，以自乘，内减前数自乘为实，前数内减太虚弦较较为从，一常法。开平方得平勾六十四。此更不用明差Ａ１差并也。
草曰：依前求平勾。前高股内加Ａ１股，得■为高弦也。以自之得■于上位，内减高股幂■，馀得■为半径幂（寄左）。然后以天元乘高股，得■为同数，与左相消得下■。开平方得六十四步，即平勾也。合问。
或问：高差、平差并一百六十一步，明差、Ａ１差并七十七步。问答同前。
法曰：以前数自乘于上，二数相并而半之，以自乘减上位，得数複自增乘为平实。前数自之于上，又以四之前数乘之，寄位。以前数自之于上，并二数而半之，以自乘减上位，得数又以四之前数乘，又倍之，减于寄位为从。前数自之，又四之于上。又以四之前数为幂，加上位，权寄。以前数为幂于上，并二数而半之，以自乘减上位，得数複八之于上。又以四之前数为幂加入上位，并以减于权寄为常法。得平勾■。
草曰：识别得二位相并而半之，得■，即极差也。立天元一为平勾，加一百六十一得■为高股，高股内又加天元，得■为极弦。以自之得■于上，内减极差幂一万四千一百六十一，馀■为两段极积。合以极弦除，不除寄为母，便以此为城径。以自增乘得■为圆径幂（内有极弦幂分母。寄左）。然后以天元乘高股，又四之得■，又以分母极弦幂■通之，得■为同数，与左相消得■。开平方得六十四步，即平勾也。合问。
或问：见明和二百七步，Ａ１和四十六步。问答同前。
法曰：二和上下相减，数同则止，名为泛率。又以二和直相减，馀为泛实（此则角差也）。乃以泛率除泛实，所得为差率也。以差率加减泛率，若半讫，与勾股相应者，其泛率便为和率，其泛实便为较率乘和率也。若不相应，则直取差率以消息之，定为相管和率（其勾股数少，得见弦黄而相为率者。勾三股四，则其和七，而其较一也。勾五股十二，则其和一十七，而其较七也。勾八股十五，则其和二十三，而其较亦得七也。勾七股二十四，则其和三十一，而其较一十七也。勾九股四十，则其和四十九，而其较三十一也。此消息之大略也。馀皆彷此）。乃以和率约二和，其明和所得为明垒率，其Ａ１和所得为Ａ１垒率也。又副置和率，上加差率而半之，则为股率也；下位减差率而半之，则为勾率也。既见勾、股及差三率，各以垒率乘之，即各得勾、股及差之真数也。
又法：二云数相并，以自乘于上。二云数相乘，又四之以减上位为实。二云数相并，以六步半乘之于上，又二数相并，以四步半乘之，又四之，以并入上位为从方。以七十步○四分三厘七毫五丝为常法。得Ａ１小差四步。
草曰：以二和相约分得Ａ１率一、明率四步半，其两数大小差率并同。又别得明小差、Ａ１大差俱为半虚黄也。立天元一为Ａ１小差，以四步半乘之得■为Ａ１大差也，又为明小差，又为半虚黄。置此Ａ１大差又以四步半乘之得■为明大差也。其四差相并得■，减于二和并，得■即两段太虚大小差并也。内加三段虚黄方■，得■，合成一个太虚三事和，即圆城径也。以自增乘得■为径幂（寄左）。乃置Ａ１和加半虚黄，得■为平勾。又置明和内加半虚黄，得■为高股，勾股相乘得下式■，又四之得■为同数，与左相消得下式■。开平方得四步，即Ａ１小差也。合问。
或问：明Ａ１二勾共八十八步，明Ａ１二股共一百六十五步。问答同前。
法曰：先识别得二大差共、二小差共及四差共。乃以二大差、二小差相乘为实，以四差共为法。如法得半之虚黄方一十八。
草曰：先置前后云数以约法约之，得一十一即垒率也。複各置前后数如垒率而一，前得八即勾率也，后得一十五即股率也。再以勾、股率求得较率七，和率二十三，弦率一十七，黄方率六，大差率九，小差率二。既见诸率，各以垒率乘之，其二和共得■，二较共得■，二弦共得■，二黄共得■，二大差共■，二小差共 ■，四差共■。已上皆为明Ａ１所得之共数也。乃立天元一为半虚黄，便为明小差，又为Ａ１大差也。以减于大差共，得■即明大差也。又以减于小差共，得■即Ａ１小差也。以二数相增乘，得■（寄左）。以天元幂与寄左相消，得■。上法下实，得一十八步，即半之虚黄方也。以倍之得■，又加于二黄共六十六共得一百二，即明勾、Ａ１股共也，又为极黄方，又为虚弦也。又以三十六减于一百八十七，馀一百五十一，即明股Ａ１勾共也。此数内减虚弦，馀■为明Ａ１二差较也，此名旁差。以旁差减二弦共一百八十七，馀得■，即太虚和也。却加入虚弦一百二，并得■，为太虚三事和，即圆城径也。合问。
又法：以虚黄方加于二和共二百五十三，得■为极弦也。以旁差减极弦馀二百四十步。亦同。
草曰：前后副置勾、股、较、和、弦、黄六率在地，前以小差率二因之，则勾得■，股得■，较得■，和得■，弦得■，黄得■，即Ａ１段各数也。后以大差率九因之，则勾得■，股得■，较得■，和得■，弦得■，黄得■，即明段各数也。既得明、Ａ１各数，馀皆可知。
测圆海镜
卷九
细草 卷九上
○大斜四问
或问：甲丙俱在中心，丙望南门直行，不知步数而止。甲出东门直行，不知步数望见丙，斜行与丙相会。二人共行了六百八十步，仍云甲直行少于丙直行一百一十九步。问答同前。
法曰：二数相减，馀以为幂，内却减差幂为平实；二数相减又四之于上，又加入二之差步为益从；二步常法。得皇勾一百三十六。
草曰：别得共步即皇极三事和，少步即勾股差也。立天元一为皇极勾。加少步得■为股也，又以天元加股得■为和也。以和减共步得■为弦也，弦自之得■ 为一段弦幂（寄左）。然后置股以天元乘之，又倍之，得■为二直积，如入少步幂■共得■为同数，与左相消得■。平方而一，得一百三十六即勾也。勾加差为股，勾股相乘，倍之为实，勾股和减共步为法。得城径。
又法：和数与倍差相加、相减，二得数相乘为平实；云数并与云数差相并得数，以减于八之共步为益从；一步常法。得皇极黄方一百二。
草曰：立天元一为黄方（即虚弦也），副置之。上位加共步，得■为二和也；下位减共步，得■为二弦也。先以二和自乘，得■为四段和幂。又以二弦自乘，得■为四段弦幂。二数相减，馀得■元，又倍之得下式■元，为十六段直积于天元位（寄左）。然后副置二和，上位加二之少步，得■为四股。下位减二之少步，得 ■为四勾。勾股相乘，得■为同数，与左相消得■。平方而一，得一百二步，即皇极黄方也。馀各依法求之。合问。
或问：甲丙俱在西北偶起，丙向南行不知步数而立。甲向东行望见丙，就丙斜行六百八十步与丙相会。丙云：“我南行步多于甲东行二百八十步。”问答同前。
法曰：以云数差乘云数并为实，倍多步为从，二为平隅。得大勾三百二十。
草曰：立天元为大平。加差得■为股，倍天元乘之，得■为二积（寄左）。然后以斜步、多步并■与斜步、多步较■相乘，得■为同数，与左相消得■。开平方得三百二十步，即大勾也。合问。
或问：甲乙二人共立于艮隅，乙南行过城门而立，甲东行望乙与城参相直而止。丙丁二人共立于坤隅，丁向东行过城门而立，丙向南行望丁及甲乙悉与城俱相直。丙複就甲斜行六百八十步与甲相会。乙、丁又云：“吾二人直行共得三百四十二步。”问答同前。
法曰：二云数相乘，倍之为实；倍斜行于上，以二云数相减加上位为从；一步常法。开平方，得城径。
草曰：别得斜步即大弦也。其共步则一径一虚弦共也，其二数相并为一大和一虚弦共数也。立天元为径，减于共步得■为虚弦也。以虚弦複减于天元，得■ 为虚和，以斜步乘之，得■（寄左）。乃以天元加斜步，得■为大和，以虚弦乘之得■为同数，与左相消得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲从北门向东直行，庚从西门穿城东行，丙从西门向南直行，壬从北门穿城南行。四人遥相望，悉与城参相直。隻云甲丙相望处六百八十步，庚壬穿城共行了六百三十一步。问答同前。
法曰：共步自之得数。以共步减斜，馀自乘以减上为实。二之斜步加入共步减斜，馀数为从。一步常法。得城径。
草曰：共行步为一径与皇和共也，又为大和皇弦差也。甲丙相望即大弦也。以共步减大弦，馀■为皇极弦上减一径也。立天元一为圆径，减于共步，得■为皇极和也，以自之得■于上。弦内减共步馀■，又以天元加之为皇弦，以自之得■，减上位，馀得■为两个皇直积（寄左）。乃以天元乘皇弦得下式■为同数，与左相消得■。平方而一，得二百四十步，即城径也。合问。
[编辑]细草卷九下
○大和八问
或问：庚从西门穿城东行二百五十六步而立，壬从北门穿城南行三百七十五步而立。又有甲丙二人俱在乾隅，甲向东行，丙向南行，各不知步数而立。四人遥相望，隻云甲丙共行了九百二十步。问答同前。
法曰：庚东行幂、壬南行幂相并于上，并庚壬步而倍之，内减大和，馀複减于庚壬共，得数以自乘减上位为平实。并庚壬步为益从，半步为隅法。得城径。
草曰：立天元一为圆径，以半之副置二位。上以减于庚东行，得下■为平弦也；下以减于壬南行，得■为高弦也。二弦相并得■为皇弦、虚弦共也。倍此数得 ■为大弦、虚弦共也。以大弦、虚弦共减于大和，馀■为虚勾虚股共也。天元内减虚勾、虚股共，馀■即虚弦也。複置皇弦虚弦共内减虚弦，馀■即皇极弦也，以自之得■（寄左）。然后以平弦自之，得下式■为勾幂也，又以高弦自之，得■为股幂也。二幂相并得■为同数，与左相消得■。平方而一，得二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲丙俱在西北隅，甲向东行不知步数而立，丙向南行望见甲，就甲斜行与甲相会。甲直行、丙直行共九百二十步（甲步少于丙步）。又：出东门南行有柳树一株，出南门东行有槐树一株。戊己二人同在巽隅，戊就柳树，己就槐树，亦与甲、乙遥相望。隻云己行少于戊行数与两树相距数相并，得一百四十四步，其二数相减馀六十步。问答同前。
法曰：二云数相并而半之为虚弦，以乘大和九百二十步于上。以一百四十四减大和，以虚较乘之，减上位为平实。以一百四十四减大和，又二之于上，以二之虚较减上位为从。四虚隅。得太虚勾四十八。
草曰：别得甲丙直行共即大和也，戊就柳树步即虚股也，己就槐树步即虚勾也。其一百四十四步即二明勾，其六十步即二Ａ１股也。立天元一为虚勾，加明勾得■为半径也，倍之得■即城径也（又为虚弦上三事和）。二云数相并而半之，得■即小弦也。相减而半之，得■即小较也。以天元加较得■即小股也，小勾股共得 ■即小和也。以小三事减大和得■即大弦也。乃先置小和以大弦乘之，得下式■（寄左）。次以小弦乘大和，得■，与左相消得下式■。开平方得四十八步，即虚勾也。加明勾又倍之得二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲从乾隅东行，乙从艮隅南行，丙从乾隅南行，丁从坤隅东行，四人遥相望见。既而甲还至艮隅就乙，丙还至坤隅就丁。甲丙直行共九百二十步，甲还就乙共二百三十步，丙还就丁共五百五十二步。问答同前。
法曰：并就数以减直行共，複以所并就数乘之为实；并就数减直行共，得数複加入直行共为法。得虚弦。
草曰：别得甲丙直行共为大和也，甲还就乙步为小差勾股共也，丙还就丁步为大差勾股共也。以大差勾股共减于大股，馀即虚勾也。以小差勾股共减于大勾，馀即虚股也。二数相并得■为大弦虚弦共也，二数相减，馀■为通差及太虚勾股差共也。又并二数而半之，得■为皇极弦虚弦共，又为皇极勾股共也。立天元一为虚弦。先以二共数减于大和，馀■为虚勾虚股和于上。次以虚弦减于二共数，馀■为大弦，以乘上位，得下■（寄左）。然后以天元乘大和，得■元为同数，与左相消得■。上法下实，得一百二步，即虚弦也。加入虚和得二百四十步，即城径也。合问。
又法：并云数减大和，複以云数相减乘之为实；并云数减大和，得数複加入大和为法。如法得虚差四十二。
草曰：立天元一为虚较。先以并云数减大和，馀■为虚和于上。次以天元减于■得■为通差，以乘之得■（寄左）。然后以天元乘大和为同数，与左相消得 ■。上法下实得四十二步，即虚差也。副置虚和为二位，上加虚差而半之，得九十即虚股也。下减虚差而半之，得四十八即虚勾也。勾幂■，股幂得■，相并得■。开平方得一百二步，即虚弦也。加入虚和得二百四十步，即城径也。合问。
或问：依前见大和，隻云股圆差上勾弦差二百一十六，勾圆差上股弦差二十步。问答同前。
法曰：以云数二十步减通和，複以二十步乘之于上。以云数二百一十六减九百步而半之，乘上位为立实。三因二十步以减通和得八百六十，以二百一十六及二十共得二百三十六，减通和而半之，得三百四十二。二数相乘讫，内减二十之九百步。又以三百四十二及二百一十六共得五百五十八，又二十之以减之为从方。以二百三十六减通和，又以三之二十步减通和，相并于上。以二之五百五十八内却减二十步，馀以加上位为益廉。四步常法。得小差股一百五十。
草曰：别得小差上股弦差■加二股为大勾也，大差上勾弦差■加二勾为大股也。立天元一为小差股，加■得■为小差弦也，小差弦上又加天元得■为通勾，以减于和步得■为通股也。通股内减■得■，半之得下式■即大差之勾也。大差勾上又加■，得■为大差弦也。再置通股以小差弦乘之，得■，以天元除之，得■为一个大弦也（泛寄）。再置通勾以大差弦乘之，得■，合以大差勾除。不除寄为母，便以为大弦（寄左）。乃以大差勾乘泛寄，得■为同数，与左相消得■。益积开立方，得一百五十步，为小差股也。合问。
或问：依前见大和，隻云高弦、平弦共得三百九十一步，高弦、平弦相较得一百一十九步。问答同前。
法曰：以较数幂减于共数幂，又半之为实，以共数减大和为益从，一常法。开平方，得圆径。
草曰：别得高弦减于通股为边股内减明股也，平弦减于通勾为边勾内减明勾也。其共数即大弦内减皇极弦，又为皇极勾股共也，其相较步即皇极差也。二云数相并得■，即黄广弦也。二云数相减，馀即黄长弦也。以共数减于大和，馀■为皇极弦、圆径共。立天元一为圆径，以减于■为皇极弦也。以共数自之得■于上。以相较数自之得■，减上位，馀■，又半之得■为两段皇极积（寄左）。乃以天元乘皇极弦，得■为同数，与左相消得下■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：依前见大和，隻云大差弦四百○八步，小差弦一百七十步。问答同前。
法曰：以并云数减大和，複以乘大和，又倍之为平实。三之通和于上，又以并云数减大和，加上位为从。二步虚法。得圆径。
草曰：大差弦减和步，馀■为大勾、大差勾共也。以小差弦减大和，馀■为大股、小差股共也。云数相并得即大弦内减虚弦也，云数相减得■为虚弦平弦共也。以相并数减于大和，馀■为大差勾、小差股共，又为圆径、虚弦共也。立■天元一为圆径，减于■得■为虚弦也。反以减于圆径得■为小和也。以天元减大和得 ■为大弦，以乘小和，得■（寄左）。乃再置虚弦以通和乘之，得■，与左相消得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：依前见大和，隻云黄广弦五百一十步，黄长弦二百七十二步。问答同前。
法曰：云数相并减大和，複以相并数乘之为实。云数相并减大和，得数複以加大和为法。得虚弦一百二。
草曰：别得黄广弦又为大差弦、虚弦共，又为边股、Ａ１股共也。黄长弦又为小差弦、虚弦共，又为底勾、明勾共也。以黄广弦减于大股，馀■即虚股，以黄长弦减于大勾，馀■即虚勾。故并数以减于大和，馀■为虚和也。以虚和减径即虚弦也。二云数相并得■为大弦、虚弦共也，云数相减馀■为虚弦、平弦共。立天元一为虚弦，以减于七百八十二，得■为大弦也，以小和乘之得■（寄左）。乃以天元虚弦乘大和，得■为同数，与左相消得■。上法下实，得一百二步，即虚弦也。合问。
或问：依前见大和，隻云边弦五百四十四步，底弦四百二十五步。问答同前。法曰：云数相减自之为实，以大和减并数为法。得皇极弦■。
草曰：别得以边弦减大股，馀■为半径内减平勾，又为平弦内减勾圆差也。以大勾减于底弦，馀■为高股内少半径，又为股圆差内少高弦也。二云数相并，得九百六十九为大弦、皇极弦共也。二云数相减，得■为皇极勾股差也。并数内减通和，馀■为皇极弦内减圆径也。立天元一为皇极弦，以自之于上。以一百一十九自之得■，减上位得■为二皇积（寄左）。複置天元内减四十九得下式■为黄方。複以天元乘之，得■，与左相消得■。上法下实，得二百八十九步，即皇极弦也。内减四十九，馀即城径也。合问。
测圆海镜
卷十
○三事和八问
或问：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立。甲向南直行，多于乙步，望见乙複就东北斜行，与乙相会。二人共行了一千六百步，又云甲南行不及斜行八十步。问答同前。
法曰：共步内减四之小差，複以自之于上，以十八个小差幂减于上为实。四之共步内减十六个小差于上，却以十八小差加上为益从。四步常法。开平方得中差 ■。
草曰：别得共步为三事和也，不及步即小差也。立天元一为中差，加二之小差得■为大小差并。以加入三事和，得■为三弦也。倍三事得三千二百，内去大小差并，得■为三和也。内减三弦，馀■为三个黄方，以自之得■为九段黄方幂（寄左）。再置天元中差加小差，得■为大差，以小差■乘之得■，为半个黄方幂，就一十八之，得■为同数，与左相消得■。开平方得二百八十步，即中差也。其馀各依法求之，合问。
或问：依前三事和，又云大差三百六十步。问答同前。
法曰：倍云数以云数乘之，又九之于上。倍云数加三事和为前数，倍云数减二之三事和为后数。二数又相减，馀一百六十为泛率。以自乘减上位为平实，十八之云数内又加四之泛率为从，四常法。得中差■。
草曰：立天元一为中差。置云数倍之，内减天元得■为大小差共数，加于三事得■为三弦也。倍三事内减大小差共数，得下式■为三和也。内又减三弦得■ 为三个黄方麵也，以自之得■为九段黄方幂（寄左）。再以天元减大差，得下式■为小差。又倍之得■，以云数乘之得下式■。又就分九之，得下式■，与左相消得下式■。开平方得二百八十步，即中差也。合问。
或问：依前见三事和，又云中差二百八十步。问答同前。
法曰：和步加差步，以自乘于上。又和步内减差步，以自乘加上位为平实。四之和步为益从，二步益隅。得大弦■。
草曰：立天元一为大弦，减共步得■为和，副置之。上位减差步，得■为二勾，以自之得■为四段勾幂也。下位加差步得■为二股，以自之得■为四段股幂也。二位相并得■为四段弦幂（寄左）。然后以天元自之，又四之，与左相消得■。开平方得六百八十步，即大弦也。倍之以减于三事和，馀即城径也。合问。
或问：依前见三事和，又云小差大差并四百四十步。问答同前。
法曰：并前后二数，三而一为弦。反以减共步，得数又以减弦，得城径。
草曰：二数相并得■，三而一得■即弦也。以弦减三事和，得■即和也。弦和又相减馀二百四十步，即城径也。合问。
或问：依前见三事和，又云小差、中差、大差共七百二十。问答同前。
法曰：半云数自之，又三之于上。半云数加三事，又自之，以三事幂加五减之，馀以减上位为平实。倍三事于上，半云数而五之，加上位为益从。二常法。得小差八十。
草曰：别得三差共为二大差也。立天元一为小差，并大差加入三事得■为三弦也。以自之，得■为十八积九较幂（寄起）。又以共三事步自之，得■于上。又以天元小差乘大差，倍之得■元加于上为十二积四较幂。又加五，得■为十八个直积六个较幂。以减寄起，馀得■为三个较幂（寄左）。然后以天元小差减大差，得 ■为中差，以自之得■，又三之得下式■。与寄左相消得■。平方而一，得八十步，即小差也。馀各依数求之。合问。
或问：依前见三事和，又云明黄方、Ａ１黄方共六十六。问答同前。
法曰：三事内加二之共步，複以二之共步乘之于上位。三事内减二之共步，複以二之共步乘之，得数减上位为平实。三事内加二之共步，又倍之于上。又六之共步加上位为泛寄。三事内减二之共步，又四之于上。又六之共步减上位，得数以减泛寄为从。作十八段虚隅。平方开之，得虚黄方■。
草曰：别得共步即虚大小差也。立天元一为虚黄方，以三之加入倍之共步，得■为圆径也。以圆径加三事得■为二通和，以圆径减三事得■为二通弦。又副置圆径，上加天元得■为二虚和，下减天元得■为二虚弦。乃置二大和以二小弦乘之，得下■（寄左）。然后置二大弦以二小和乘之得下式■，与左相消得■。开平方得三十六步，即虚黄方也。其馀各依法求之。合问。
或问：依前见三事和，又云皇极弦二百八十九步。问答同前。法曰：二数相乘为实，从空，一益隅。得大弦■。
草曰：立天元一为通弦，内减皇弦，馀■为皇极勾股和，以自之得■于上。以皇极弦幂减上位，得■为二直积，合以皇弦除之。不除，寄为母，便以此为城径（寄左）。乃以二之天元弦减共步，得■为黄方麵，以皇弦通之，得■，与左相消得■。开平方得六百八十步，即大弦也。合问。
或问：依前见三事和，又云见太虚弦一百二步。问答同前。
法曰：半虚弦乘三事为实，三事为从，四虚隅。翻开之，得半大弦■。
草曰：识别得以虚弦减大弦，半之为皇极弦；以虚弦加大弦，半之为皇极勾股共也。立天元一为半大弦。以二之内减虚弦，得■，折半得■为皇极弦也。又以虚弦加大弦而半之，得■为皇极和也。和自之得■于上。又以弦自之得■，减上位，馀得下■元为二直积。合以皇极弦除之。不除，寄为分母，便以此为城径（寄左）。然后以四之天元减三事共，馀■，又以皇极弦分母通之，得■为同数，与左相消得■。倒积开得三百四十步，倍之即大弦也。合问。
测圆海镜
卷十一
○杂糅一十八问
或问：城南有槐树一株，城东有柳树一株。甲出北门东行，丙出西门南行。甲、丙、槐、柳悉与城参相直，既而丙就柳行五百四十四步至柳树下，甲就槐行四百二十五步至槐树下。问答同前。
法曰：甲就步自之于上，以二行相减数自之减上位为实。二之二行相减数并入二之甲就步为从，一步常法。得平弦■。
草曰：别得丙就步为边弦也，甲就步为底弦也。边弦即皇弦、高弦共也，底弦即皇弦、平弦共也。二行相并即大弦、皇弦共也，二行相减即皇极勾股较也。倍皇弦以减于大弦，馀即虚弦也。倍皇弦内减边弦，馀即Ａ１弦也。倍皇弦内减底弦，馀即明弦也。皇极弦加一差则大差弦也，内减一差则小差弦也。立天元一为平弦，加一皇极勾股差得■即高弦也。高弦自之得■，内加天元幂得■为皇弦幂（寄左）。然后以天元减底弦得下式■，自之得■为同数，与左相消，得■。开平方得一百三十六步，即平弦也。馀各依法求之，合问。
或问：出南门东行有槐树一株。甲出北门东行，斜望槐树与城相直，就槐树行二百七十二步。出东门南行有柳树一株。丙出西门南行，斜望柳树与城相直，就柳树行五百一十步。问答同前。
法曰：云数相并而半之，以自乘于上。半丙斜行以为幂，半甲斜行以为幂，并二幂减上位为实。并云数为益从。一步平隅。得虚弦■。
草曰：别得丙斜行为黄广弦也，亦为两个高弦也，此勾则城径也。甲斜行即黄长弦也，亦为两个平弦也，此股则城径也。二数相并，得■即大弦、虚弦共也；二数相减，馀■即两个皇极差也。二数相并而半之，得■即皇极和也。立天元一为虚弦。以减于皇极和，得■即皇极弦也。以自之，得■为皇弦幂（寄左）。然后以高弦自之得■，以平弦自之得■，二自乘数相并得■，与左相消，得■。开平方得一百二，即虚弦也。合问。
或问：甲从坤隅南行，不知步数而立。乙从艮隅南行一百五十步，望见甲，複斜行五百一十步，与甲相会。问答同前。
法曰：斜行自之于上。倍南行减斜，馀自之，以减上为实。倍南行减斜，又四之为从。八步常法。开平方，得半径。
草曰：别得南行即小差股，斜行即黄广弦也。小差股内减半径，馀即半个黄广积上股弦差也。全径即其勾也。立天元一为半城径。减于乙南行，倍之得■即一个黄广积上股弦差也，以减于斜行步，馀■即股也。自之得■为股幂也。又倍天元，以自之为大勾幂，加入大股幂，得下■（寄左）。然后以斜行幂■与寄左相消，得下式■。开平方得一百二十步，即半径也。合问。
或问：乙从艮隅东行，不知远近而止。甲从坤隅东行一百九十二步，望见乙，複斜行二百七十二步，与乙相会。问答同前。
法曰：倍东行减斜行，得数自为幂，以减于斜行幂为平实。倍东行减斜行，又四之为从。八益隅。翻法开平方，得半径。
草曰：别得甲东行即大差勾也，斜行则黄长弦也。大差勾内减半径，馀即半个黄长积上勾弦差也，全径即其股也。立天元一为半城径，减甲东行，倍之得■即一个黄长积上勾弦差也，以减于斜行步，得■即黄长勾也，以自之得■为勾幂于上。倍天元以自之，加上位得下式■为弦幂（寄左）。然后以斜行幂■为同数，与左相消得■。平开得一百二十步，即半城径也。合问。
或问：甲从坤东行一百九十二步，丙从艮南行一百五十步，望见之。问答同前。法曰：二行相乘，倍之为平实，如法得圆径。
草曰：别得甲行即大差勾，丙行即小差股。此二数相乘恰与大小差相乘正同。如法相乘讫，倍之得■为圆径幂（寄左）。然后立天元为圆径，以自之，与左相消，得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
又法：以二行相减数减于二行相并数，馀者半之于上。複以二行相减数加于上，即城径。
草曰：别得甲东行减于径为虚勾也，丙南行减于径为虚股也。二行共为一径一虚弦共也，二行相减即虚和也。以相并数、相减数又相减即两个虚弦也。如法求得虚和■，虚弦■，相并得■即城径也。合问。
或问：出西门南行二百二十五步有塔，出北门东行六十四步，望塔正当城径之半。问答同前。法曰：二行相乘为平实，一步常法。得半径。
草曰：别得二百二十五步为高股，此乃半径为勾之股也。其六十四步为平勾，此乃半径为股之勾也。二数相并即皇极弦也，二数相减即中差内去皇极差也。又别得二行相乘恰是半径幂一段，此与半梯头相乘其意正同。今且以弦上容圆取之。立天元一为半径，副之。上加南行得■为股也，下加东行步得■为勾也。勾股相乘，得■为大直积。以天元半径除之，得■为勾股和（寄左）。然后并勾股得■，与左相消，得■。开平方得一百二十步，即半径也。合问。
或问：丙从乾隅南行，丁从艮隅亦南行，甲从乾隅东行，乙从坤隅亦东行。各不知步数，四人悉与城相直。隻云丙行内减丁行，馀四百五十步；甲行内减乙行，馀一百二十八步。问答同前。
法曰：二行相乘为实，一步常法。得城径。
草曰：别得丙行即大股，丁行即小差之股也。甲行即大勾，乙行即大差之勾也。其■即黄广股，其■即黄长之勾也。立天元一为城径。先置黄广股■为股方差，以■为勾方差。以乘之得■为城径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得下式■。开平方得二百四十步。合问。
或问：出南门东行有槐树一株，出东门南行有柳树一株。丙丁二人同立于坤隅，甲乙二人同立于艮隅。丁直东行至槐而止，乙直南行至柳而止。丙直南行，甲直东行，四人遥相望见。隻云丙行多于丁行一百六十八步，乙行多于甲行七十步。问答同前。
法曰：云数相乘为实，二数相减又半之为法。得城径。
草曰：别得■即大差勾股较也，其■即小差上勾股较也。二数相并为大差弦内减小差弦也，二数相较又半之，为皇极弦与城径差也，二数相并而半之即皇极差也。立天元一为圆径。二云数相减又半之，加天元得■为极弦也。并二数而半之，得■为极差也。副置极弦，上位加极差得■为弦较和也，下位内减极差得■为弦较较也。上、下相乘，得■为二直积（寄左）。然后以天元一乘极弦，得下式■为同数，与左相消得■。上法下实，如法而一，得二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲从坤东行，丙从艮南行，适相见，斜行一百二步，甲丙相会。丙云：“我南行不及汝四十二步。”问答同前。
法曰：二数相并，以斜行乘于上。二数相并而半之，以乘相并数，减上位为平实。并二数又倍之于上，并二数又加斜行以减上位为从。一步常法。得虚勾。
草曰：别得一百二步即虚弦，四十二步即虚较也。又斜行得虚股为甲东行，此便为大差勾也。斜行步得虚勾为丙南行，此便是小差股也。立天元一为虚勾。加斜行步得■为小差股也，以不及步加于小差股得下式■为大差勾也。勾股相乘，得■为半段黄方幂（寄左）。然后再置虚勾加不及步，得■为虚股，又加入天元得 ■为虚和，又加入虚弦得■为圆径，以自之得■，又半之与寄左相消，得■。平方开得四十八步，即虚勾也。合问。
或问：甲从城心东行，丙从城心南行，庚从巽隅西行，壬从巽隅北行。四人遥相望见，各不知步数。隻云甲丙共行了三百九十一，庚壬共行了一百三十八。问答同前。
法曰：云数相乘为实，相并为法。得虚弦■。
草曰：别得甲丙共为皇极和也，又为极弦、极黄共。庚壬共为太虚和也，又为虚弦、虚黄共。立天元一为皇极黄方麵（亦为虚弦也）。减于甲丙共，得■即极弦也。又以天元减于庚壬共，得■即太虚黄方麵也。以太虚黄方麵乘极弦得■（寄左）。然后以天元幂与左相消，得■。上法下实，如法得一百二即皇极黄方麵也。合问。
或问：甲从乾隅东行，不知步数而止。丙向南行亦不知步数，望见甲，就甲斜行七百八十步，与甲相会。甲云：“我行地虽少于汝，以我东行步为法，除汝南行步，则汝止得二步四分。”问答同前。
法曰：斜步自之为平实，除步自之，又加一步为隅。得甲东行■。
草曰：此问所求城径与诸问并同，其勾股则与前后诸率不同。今特为此草者，欲使后学有以考较诸率当否也。立天元一为甲东行（即大勾），以乘二步四分，得■为长，以自之得■为股幂。又并入天元幂得■为弦幂（寄左）。乃以斜行自之得■为同数，与左相消得■。开平方得三百步，即甲东行也。以二步四分乘之得七百二十步，即丙南行也。倍丙南行以甲东行乘之，得四十三万二千为实，以三事和一千八百为法除之，得二百四十步，即城径也。合问。
或问：小差黄方麵少于大差黄方麵八十四步，太虚黄方麵少于皇极黄方麵六十六步。问答同前。
法曰：半八十四为中差。以中差减六十六为二小差，又中小差相并为大差。乃以小差乘大差为平实。半步常法。得虚黄三十六。
草曰：别得八十四为两个虚积中差，其六十六为虚积大小差并。半八十四得■为虚中差也，以中差减六十六，馀二十四，半之得■即虚小差也。以小差反减六十六，馀■即虚大差也。又别得小差黄方为两Ａ１股，大差黄方为两明勾也。立天元一为虚黄方。置三位，上加小差得■为虚勾也，中加大差得下■为虚股也，下加大小差并得■为虚弦也。三位并之得■即城径也。倍虚勾减城径得■为大差黄方麵也，又倍虚股减城径得■为小差黄方麵也。半小差黄方麵得■，以乘大差黄方麵，得■为一个虚直积（寄左）。乃以虚勾、虚股相乘，得下■为同数，与左相消得■。平方开得三十六步，即虚黄方也。其馀依法求之，合问。
据此问，既别得大、小差正数，自可以求得黄方麵也。诸如此类，实不须草。然今特为细草者，庶使后学知其来曆也。
或问：大差弦较较减皇极弦馀四十九步，小差弦较和减太虚弦馀一百三十八步，又皇极差一百一十九步。问答同前。
法曰：并前二数为幂，内减极差幂为平实。从空，二益隅。得虚弦■。
草曰：别得大差弦较较与小差弦较和皆同为圆径也。又二数相并，得■为明弦Ａ１弦共，又为极和内少两个虚弦也，其一百三十八即虚和也，■则旁差也。立天元一为虚弦，加入一百三十八，得■为圆径也，又加入■得■为极弦，以自之得■，又倍之，得■，内却减极差幂■，得下式■为和幂（寄左）。乃倍天元加并数，得■为极和，以自增乘，得■为同数，与左相消得■。开平方得一百二步，即虚弦也。加入一百三十八，得二百四十步为圆径。合问（前二数相并加虚弦，便是极弦）。
或问：小差不及平弦五十六步，高弦不及大差一百五步。问答同前。法曰：以前数自之为实，二数相减为法。得平勾六十四。
草曰：别得云数相并得■为平勾不及高股也，此数得极差则通差也，此数内减虚差则极差也。云数相减，馀■即城径不及极弦也。以前数减于半径，馀即平勾也，以后数加于半径即高股也。倍前数加小差则为股圆差之勾也，此与前数加平弦同。倍后数减于大差则为勾圆差之股也，此与后数减于高弦同。立天元一为平勾，加相并数得■即高股也，又加天元得■即极弦也。内减二云数差，得■为城径也，半之得■，以自之得■为半径幂（寄左）。然后以天元乘高股得■为同数，与左相消得■。上法下实，得六十四步，即平勾也。合问。
又法：云数相得为实，相减为法。得半径■。
草曰：立天元为半径，副之。上内减五十六得■为平勾，下加一百五得■为高股。上下相乘得■为半径幂（寄左）。以天元幂与左相消，得下式■。上法下实，得一百二十步，即半径也。合问。
或问：通勾、通弦共一千步，大差、小差共得四百四十步。问答同前。
法曰：以二差共减于一千，又半之，以自乘为平实。以二差共减于一千，又半之，加入二之后数为从。二步二分五厘益隅。得勾圆差■。
草曰：立天元一为小差数，加入后数得■。却以减于前数得■，折半得■为一个圆径也，以自之，得下式■（寄左）。然后以天元减后数，得■为大差，以天元乘之，又倍之得■，与左相消得■。开平方得八十步，即勾圆差也。
或问：皇极三事和六百八十步，太虚弦和较三十六步。问答同前。
法曰：二数相得为实，半之后数为益从，五分常法。平开得城径■。
草曰：别得皇极三事和即大弦也。立天元一为圆径，内减三个后数■而半之，得■为太虚大小差并也，却加入两个后数■得下■为虚和也。又以虚和减天元得下■为虚弦也。置通弦（即皇极三事和也），内加天元得下式■即通和也。乃置通和以虚弦乘之，得下式■（寄左）。再置虚和以通弦乘之，得下■为同数，与左相消得■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：出南门行一百三十五步有树，出北门行一十五步，折而东行二百八步，望见树。问答同前。
法曰：以东行步乘南行步，得数又自乘为实。以东行步自乘乘南行步，又倍之为从。东行步自乘于上。并南北二行步，以减于东行步，馀数自之为幂，以减上，再寄位。又并南北二行步，以东行步乘而倍之，内减再寄为第一益廉。四之东行步于上，又并南北二行步减于东行步，又四之，减上位为第二益廉，四步虚隅。开三乘方，得半径。
草曰：立天元一为半径（即高勾也）。置南行加天元，得■为高弦也。置大勾■以高弦乘之，得■，複以高勾除之，得下式■为大弦也。令之自乘，得 ■（寄位）。又置二之天元，加南北行并，得■为大股。複用大勾二百八减之，得■为较也，以自乘，得■为较幂。以减寄位，得■为二直积（寄左）。再置大股■ 为直积，又倍之得■为同数，与左相消得■。翻法开三乘方，得一百二十步，即城径之半也。合问。
或问：出北门一十五步折而东行二百八步有树。出西门八步折而南行四百九十五步见之。问答同前。
法曰：先置南行步，内减一东二西并步，馀二百七十一为前泛率。次并一南二北，内减东行步，馀三百一十七为中泛率。次并东西步，以南行步乘之于上位。又以西行乘南北并，得数减上位，馀一十万二千八百四十为后泛率。乃以后泛率自乘，得一百五亿七千六百六万五千六百为三乘方实。以前中二泛相减馀四十六，以乘后泛数为从。前中二泛相乘得八万五千九百○七，加入二之后泛数，共得二十九万一千五百八十七于上位。又倍东西并，以乘南北并，得二十二万三百二十，加上位，通得五十一万一千九百七为第一廉。二之南北并，加入二之东西并，得一千四百五十二于上位。又以前中二泛相减，馀四十六，减上位，馀一千四百六为第二廉。一步常法。得半径。
草曰：立天元一为半城径，加入东行西行并得■为大勾也。又置天元加入南行北行并，得■为大股也。置西行八步以大股乘之得下式■，合以大勾除之。不除，寄为母，便以此为股尖也。置南行四百九十五步减天元得■，用分母大勾乘之，乘讫得下式■，内减了股尖，馀■为小股也（内带大勾分母）。置小股合以大勾乘了，複以大股除之为小勾。今为小股内已有大勾为母，更不须乘，隻以小股■便为小勾也（内带大股为母）。小勾、小股相乘得数为一个小勾股相乘直积，内带大勾股相乘直积为分母也。乃以半城径（即天元也）除之，为一个弦较和也：■。此法本取勾外容圆，合以弦较和除二积，为勾外所容之圆。今用半天元圆径除一个积，则却得一个弦较和也，内依旧带大积分母也（寄左）。然后再置小股■，合用大积乘之，缘内已带大勾分母，今隻用大股■乘之，得■为大积所乘小股于上。再置小勾，合用大积乘之，缘内已带大股分母，合隻用大勾■乘之，得■为大积所乘之小勾也。以此小勾减上小股得■，即带分小较也。又二因小较得下式■为带分二较也。又以大勾股直积■乘二之天元半圆径，得■为一个带分弦较较也（弦较较乘弦较和为二直积，既以圆径除二直积为弦较和，则是圆径为弦较较也。今又为半天元圆径除一积为弦较和，故倍天元半径作一个弦较较也）。遂将此弦较较加入前二较，得■亦为一个弦较和也。与寄左相消得下式■。开三乘方得一百二十步，即半城径也。合问。
又法：此问係是洞渊测圆门第一十龋粒保前答亦依洞渊细草，用勾外容圆术，以如于弦较和。然其数烦碎，宛转费力。今别草一法，其廉从与前不殊，而中间段络径捷明白。方之前术，极为省易，学者当自知也。立天元为半径，副之。上并加东西行，得■为通勾率。下并加南北行，得■为通股率。乃置西行八步以通股乘之得下■，合通勾除，不除，寄为母，便以此为南小股也。又置南行四百九十五步，内减天元得■，用通勾乘之，得■。内减了南小股，馀下式■为股圆差也，内带通勾分母。又置北行一十五步以通勾乘之，得■，合通股除，不除，寄为母，便以此为北小勾也。又置东行二百八步，内减天元得■，用通股乘之，得■。内减了北小勾，馀■为勾圆差也（内带通股分母）。乃以二差相乘得下式■为半段圆径幂也，内带通积为母（寄左）。然后以通勾通股相乘得■，以天元幂乘之，得■，又倍之得下式■为同数，与左相消，所得廉、从一与前同。合问。
测圆海镜
卷十二
○之分一十四问
或问：甲乙二人俱在西北隅，乙向东直行，不知步数而止。甲向南直行，望见乙，複向乙斜行。甲告乙云：“我直行斜行共一千二百八十步，汝东行步居我南行步十五分之八。”
法曰：十六之共步幂为实。二百五十七之共步为益从，一十六步常法。得勾圆差■。
草曰：别得共步即股弦共也。立天元一为小差。以乘共步为勾幂，就分以二百二十五通之，得■元为二百二十五段勾幂（寄左）。然后再置共步，内减小差得 ■为二股，就分四之，得■为一十五勾，以自之得■为同数，与左相消得■。平方开之得八十步，即小差也。既得小差，加共步而半之，得六百八十步即弦也。若以减共步而半之，得六百步即股也。以股幂减弦幂，馀一十万二千四百步，开平方得三百二十步，即勾也。勾股相乘，倍之得三十八万四千步为实，以弦和和一千六百步为法，实如法而一，得二百四十步即城径也。合问。
或问：甲乙二人俱在西北隅，乙直南行不知步数而立。甲直东行望见乙，複向乙斜行，与乙相会。甲云：“我共行了一千步。”又云：“我东行步居汝南行步十五分之八。”
法曰：二百二十五段共步幂为实，七百六之共步为益从。二百二十五步常法。得股圆差■。
草曰：别得共步即勾弦共也。立天元一为大差。以乘共步得■元，又就分以二百五十六通之，得■元为二百五十六个股幂（寄左）。然后再置共步，内减天元大差得■为二勾，就分以一十五之，得■为十六个股也。以自之得■为同数，与左相消得■。开平方得三百六十步，即大差也。副置共步，上位减大差而半之，得三百二十步，即勾也。下位加大差而半之，得六百八十步，即弦也。馀数各以法求之，合问。
或问：甲乙俱在西北隅，甲南行不知步数而立。乙东行亦不知步数，望见甲，就甲斜行，与之相会。乙云：“我东行步少于城周九分之五。”甲云：“我南行却多于汝东行二百八十步。”问答同前。
法曰：别得周居九分，径居三分，乙东行居四分。
草曰：立天元一为一分之数，以三之得鋋元为径。以四之得■元为勾。以径减勾，馀■元为小差（隻天元便是小差）。再置小差加入甲多步，得■为大差。倍大差以天元乘之，得■为一段圆径幂（寄左）。再置城径以自之得下式■为同数，与左相消得■。上法下实，得八十步，即一分之数也。以三之得二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲出西门南行，不知步数而立。乙出北门东行，望见甲，既而乙云：“我所行居城径六分之五。”甲云：“然则，我所行却多于汝二百八十步。”问答同前。
法曰：四之却多步为实。分母自之于上。半分母减子，得数倍之，又以减数乘之减上位为法。得一分之数■。
草曰：别得却多步即勾股差也。乃立天元一为一分之数以六之为城径，以五之为乙行。置乙行内减半城径，得■元为小差也。又加入却多步得■，又二之得 ■为二大差。又以小差乘之，得■为径幂（寄左），然后以径幂■与左相消得下■。上法下实，得四十步，即一分之数也。六之则为城径，五之则为乙行，又以却多步加乙行即甲行步也。合问。
或问：甲丙二人俱在西北隅，甲向东行不知步数而立。丙向南行望见甲，与之相会。丙语甲云：“我行既多于汝，又城径少于我为四十分之十六。”甲云： “然则，吾二人共行了九百二十步。”问答同前。
法曰：倍子减倍母，以乘共行步为实。倍子减倍母，以乘子母并数于上，又以子幂加上位为法。如法得一十五步，即一分之数也。
草曰：别得共行步即通和也。又别得四十分之十六，或作二十分之八，或作十分之四亦得。但所得之分数不同耳。乃立天元一为一分之数以十六之为城径，以四十之为丙行。以丙行减和步，得■为通勾，勾内减径馀得■为小差于上。以分母分子相减馀■元，又倍之得■元为两个大差。以乘上位得■为圆径幂（寄左）。然后以分子十六分自之，得下■，与左相消得■。上法下实，得一十五步，即一分之数也。以十六之得二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲乙俱立于城中心，乙出东门直行，不知步数而立。甲出南门直行，亦不知步数，望见乙，向乙斜行，与之相会。乙云：“我行居汝南行十五分之八。”又云：“斜行步内若减甲直行，馀三十四步，若减乙直行馀一百五十三步。”问答同前。
法曰：以云数二减步为小差、大差，以相乘，倍之，开平方加入大小差并，以自之于上。又以大小差相较数，以自之减上位为实。甲行分、乙行分相乘，又倍之为隅法。得一分之剩粒豹枿。
草曰：别得云步相并得一百八十七，是于皇极弦内少一个皇极黄方麵也。又别得三十四步是个小勾圆差，其一百五十三步是一个小股圆差。此二差又相减，馀一百一十九即中差也。乃立天元一为一分之数。以八之得■元为乙东行数，以十五之得■元为甲南行数，以二数相乘又倍之，得■为二直积于上（寄左）。然后以云步三十四乘一百五十三，得五千二百二，又倍之得一万四百四为平方实。开之得一百二步即小黄方也。加入相并数一百八十七得二百八十九为小弦也。以自之得八万三千五百二十一为弦幂于上。以中差幂一万四千一百六十一减上位，馀■，与左相消得■。平方开之得一十七步，即一分之数也。副置一分之数，上位以八之得一百三十六，即乙东行也；下位以十五之得二百五十五，即甲南行也。二位相乘得三万四千六百八十，又倍之得六万九千三百六十为实。以弦二百八十九为法，如法得二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲出西门南行，乙出北门东行，各不知远近。两相望见，複相向斜行，各行了三百四十步相会。甲云：“城径居我南行二分之一。”乙云：“我东行居城径六分之五。”问答同前。
法曰：以二之斜行步，自之为实。以各行分数加半城径分，自之为幂，又相并为隅法。开平方得一分之数■。
草曰：别得倍斜行为大弦。又别得乙行五分，城径六分，甲行十二分。乃立天元一为一分之数以六之为城径，以五之为乙行分，以十二之为甲行分。乃副置半城径，上位加甲行步得一十五，以自之得二百二十五为大股幂。下位加乙行步得八，以自之得六十四为大勾幂。二幂又相并，得为大弦幂（寄左）。然后置大弦六百八十步，以自之得■太，与左相消，得■。平方开之，得四十步，即一分之数也。以六之得二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲出西门南行，不知步数而立。乙出北门东行见之，乙斜行与甲相会。甲乙二人共行了一千三百六十步，其甲南行居斜十七分之十二，其乙东行居斜十七分之五。问答同前。
法曰：别得共步即二弦也，半共步得六百八十步，副置之。上位以五之，得三千四百，以十七而一，得二百步即乙东行也。下位以十二之，得八千一百六十，以十七而一，得四百八十即甲南行也。二行相减馀二百八十即勾股差也。其馀各依数求之。合问。
或问：甲出西门南行，不知步数而立。乙出北门东行望见之。既而乙谓甲云：“我取汝六分之五得六百步。”甲谓乙云：“我取汝五分之三，亦得六百步。” 问答同前。
法曰：如法求得各行步，相并以自之于上。并甲南行幂、乙东行幂以减上为实，并各行为从。半步常法。得全径。
草曰：置■。以上六分、五分各自直乘步数讫，得■。别得右行三千六百步为六乙行，五甲行也，左行三千步为五甲行、三乙行也。以方程法入之。乃再置 ■。先以左行直减右行，右上空，中馀三乙行，下馀六百步。上法下实，得二百步即乙行也。却以今右行减于元左行，上馀五甲行，中空，下馀二千四百步。上法下实，得四百八十步即甲行也。既得此数，乃立天元一为城径。以半之，副置二位。上以加甲行得■为通股，以自之得■为大股幂。下位加乙行得■为通勾，以自之得 ■为大勾幂。二幂相并得■为大弦幂（寄左）。乃并甲行、乙行，以自乘得下式■，亦为大弦幂，与左相消得下■。开平方得二百四十步，即城径也。合问。
或问：甲从坤隅南行，不知步数而立。乙从艮隅东行，望见之。既而乙谓甲云：“我所行取汝所行三分之一得二百步。”甲谓乙云：“我所行内减汝所行四分之三得三百步。”问答同前。
法曰：如法求得各行步，以相乘，又二之。开平方得全径。
草曰：置■。以上三分、四分直乘步数讫，得■。别得右行六百步为三乙行一甲行也，左行一千二百步为四甲行内少三之乙行步也。以方程法入之。
乃再置■。先以左行直加右行，右上得五甲行，中空，下一千八百步。上法下实，得三百六十步，即甲行也。次以一甲行减元右行六百步，馀二百四十步，以中三除之得八十步，即乙行步也。甲行、乙行二数相乘，得数又倍之。开平方，即城径也。合问。
或问：股圆差如股五分之三，勾圆差如勾四分之一。又云其大小差相减馀二百八十步。问答同前。
法曰：二之中差为实。置股子以勾母乘之，内减股母为法。得小差■。
草曰：别得勾圆差即小差，股圆差即大差，云步即中差。乃立天元一为小差。以四之为勾，勾上加中差得■为股，又三之，得■为五个大差也。内减五之天元，得■为五个中差也（寄左）。乃以五之相减步■与左相消，得■。上法下实，得八十步，即小差也。合问。
或问：股圆差如股五分之三，勾圆差如勾四分之一。又云勾母每分少于股母每分四十步。问答同前。
法曰：二之少步为实，以股子母相减数减勾子母相减数为法。如法得小差■。
草曰：立天元一为勾圆差，便为勾母每分数以天元加四十步得■为股母每分数于上。乃以股子减股母，馀二分，以乘上位，得■为城径（寄左）。再置天元在地，以勾子减勾母馀三分，以乘之，得■为同数，与左相消得下■。上法下实，得八十步，即勾圆差也。合问。
或问：甲出南门直行，乙出东门直行望见甲，斜行与甲相会。甲云：“我行不及股圆差二十四分之十五。”乙云：“我行不及勾圆差五分之四。”又云甲行多于乙行一百一十九，股圆差多于勾圆差二百八十。问答同前。
法曰：以大差母分二十四以乘甲多步一百一十九，得数倍小差母五，得一十，以乘之于上。以小差母五乘二之二差相较数，又九之，减上位为实。倍小差母得一十，却以小差乘之，又九之于上。倍甲分母以小差母乘之，得数减上位以为法。得一分之数一■。
草曰：立天元一以为小差一分之数（此一分之数便是乙直行也）。以五之，得■为小差，加二百八十得下■为大差，又倍之得■，以小差乘之得下式■，为一个圆径幂，又九之得■（寄左）。乃又置乙行步加一百一十九，得■即甲行步也。以二十四之，得■为九个大差也。倍小差母得一十以乘之，得■为同数，与左相消得■。上法下实，得一十六步，即小差一分之数也。既得此数，馀各如法求之。合问。
或问：大勾、大股、大弦三事和一千六百步，以明勾除大股得八步三分之一，以Ａ１股除大勾得一十步三分之二，以虚勾、明勾相减馀二十四步，以虚股、Ａ１股相减馀六十步。问答同前。
法曰：倍六十步加入大三事和，又三之二而一为实。并二云数分子内减六步为法。如法得Ａ１股三十。
草曰：别得六十步与二十四步二数相并而半之，得掞泬即明勾、Ａ１股差也，又为虚勾、虚股差也。若以二数直相减即虚黄方也。其二十四步得二虚勾即半径也，其六十步得二Ａ１股亦为半径也。立天元一为Ａ１股，加差步得■为明勾也，以乘八步三分之一得■为大股也。以天元乘一十步三分之二得■元为大勾也。勾股相并得下■为大和也（寄左）。然后四之天元加入二之六十步，得■为小三事和。以小三事和加入大三事和为二个大和也。合折半为大和。又就分三之为前数，今不折半三因，但身外加五得■，为同数，与左相消得■。上法下实，得三十步，即Ａ１股也。四之Ａ１股加入二之六十步，得二百四十步，即城径也。合问。
评：
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底弦四百二十五，勾二百，股三百七十五。勾股和五百七十五，较一百七十五。勾弦和六百二十五，较二百二十五。股弦和八百，较五十。弦较和六百，较二百五十。弦和和一千，较一百五十。
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第三组；375，200，425。
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黄广弦五百一十，勾二百四十即城径也，股四百五十即股方差也。勾股和六百九十，较二百一十。勾弦和七百五十，较二百七十。股弦和九百六十，较六十。弦较和七百二十，较三百。弦和和一千二百，较一百八十。
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第四组：240，450，510.
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黄长弦二百七十二，勾一百二十八即勾方差也，股二百四十即城径也。勾股和三百六十八，较一百一十二。勾弦和四百，较一百四十四。股弦和五百一十二，较三十二。弦较和三百八十四，较一百六十。弦和和六百四十，较九十六。
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第五组：128，240，272.
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高弦二百五十五（上下同），勾一百二十即半径也，股二百二十五。勾股和三百四十五，较一百○五。和三百七十五，较一百三十五。股弦和四百八十，较三十。弦较和三百六十，较一百五十。弦和和六百，较九十。
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第六组：120，225，255.
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平弦一百三十六（上下同），勾六十四，股一百二十即半径也。勾股和一百八十四，较五十六。
勾弦和二百，较七十二。股弦和二百五十六，较一十六。弦较和一百九十二，较八十。弦和和三百二十，较四十八。
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第七组：64，120，136.
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大差弦四百○八，勾一百九十二，股三百六十。勾股和五百五十二，较一百六十八。勾弦和六百，较二百一十六。股弦和七百六十八，较四十八。弦较和五百七十六，较二百四十。弦和和九百六十，较一百四十四。
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第八组：192，360，408.
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小差弦一百七十，勾八十，股一百五十。勾股和二百三十，较七十。勾弦和二百五十，较九十。股弦和三百二十，较二十。弦较和二百四十，较一百。弦和和四百，较六十。
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第九组：80，150，170.
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皇极弦二百八十九，勾一百三十六，股二百五十五。勾股和三百九十一，较一百一十九。勾弦和四百二十五，较一百五十三。股弦和五百四十四，较三十四。弦较和四百○八，较一百七十。弦和和六百八十，较一百○二。
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第十组：136，255，289.
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太虚弦一百○二，勾四十八，股九十。勾股和一百三十八，较四十二。勾弦和一百五十，较五十四。股弦和一百九十二，较一十二。弦较和一百四十四，较六十。弦和和二百四十，较三十六。
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第十一组：48，90，102.
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明弦一百五十三，勾七十二，股一百三十五。勾股和二百○七，较六十三。勾弦和二百二十五，较八十一。股弦和二百八十八，较一十八。弦较和二百一十六，较九十。弦和和三百六十，较五十四。
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第十二组：72，135，153.
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叀弦三十四，勾一十六，股三十。勾股和四十六，较一十四。勾弦和五十，较一十八。股弦和六十四，较四。弦较和四十八，较二十。弦和和八十，较一十二。
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第十三组：16，30，34.
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○识别杂纪天之于日与日之于心同，心之于川与川之于地同。
日之于心与日之于山同，故以山之川为小差。川之于心与川之于月同，故以月之日为大差。
明勾股相得名为内率求虚积，明股叀勾相得名为外率求虚积，虚勾虚股相得名为虚率求虚积。
凡勾股和即弦黄和，凡大差即股黄较，凡小差即勾黄较。高股平勾差名角差，又名远差。此数即高平二差共也，又为明和叀和较也（又为通差内去极差，又为极差虚差共）。明叀二差共名次差，又名近差，又名戾（音列）和。此数又为明大差叀小差较也。勾圆差之股、股圆差之勾相并名溷同和，此数又为一径一虚弦共也。明叀二差较名傍差，此数又为高平二差较，又为极双差内减虚和，又为极弦内减城径也。虚差不及傍差名蓌（音剉）差。此数又为大差差内去角差，又为极差内去二之平差，又为次差内去小差差，又为明股叀勾共内去二之明勾也。虚差旁差共名蓌和。
凡大小差相乘为半段径幂（大差勾小差股相乘亦同上），虚勾乘大股得半段径幂（虚股乘大勾亦同上）。边股叀股相乘得半径幂（明勾底勾相乘亦同上），黄广股黄长勾相乘为径幂。高股平勾相乘得半径幂，明弦明股并与叀弦叀勾并相乘得半径幂（明弦明勾并与叀弦叀股并相乘，亦同上）。高弦平弦相乘为一段皇极积。明勾叀股相乘，倍之为一段太虚积（明股叀勾亦同）。
右诸杂名目。
通弦上勾股和即一城径、一通弦也，其较即勾圆差、股圆差较也。勾弦和即二勾一大差，其较则大差也。股弦和即二股一小差，其较则小差也。弦较和为一径三差共，其较则大勾小差共也。三事和即边弦三事和上带大勾也，又为底弦三事和上带大股也，其较则城径也。
边弦上勾股和为通股平弦共，其较则大差股内去平弦也。勾弦和即通股底勾共，其较则明股明弦共也。股弦和即通股通弦和内少个边勾也，其较则平勾也。弦较共为大差上股弦和，其较则大勾也。三事和即通弦上股弦和，又为黄广三事和上带勾圆差也；其较则大差勾也，又为平弦上弦较和，又为太虚弦上股弦和也。
底弦上勾股和为通勾高弦共，其较则高弦内去小差勾也。勾弦和为通勾上弦较较与高股共，其较则高股也。股弦和为半个通弦上三事和，其较则叀弦上勾弦和也。弦较和为大差上勾弦和也，其较则小差上勾弦和也。三事和即通弦上勾弦和，又为黄长三事和上带股圆差；其较则小差股也，又为高弦上弦较较，又为太虚弦上勾弦和。
黄广弦上勾股和为大股虚股共，又为通勾通股共内少个小差上勾股和，其较则两个高差也。勾弦和为二高弦一圆径共，其较则二明股也。股弦和为通弦上弦较和，其较则二叀股也。弦较和即两个大差股也，其较即两个小差股也。三事和即两大股也，其较则两虚股也。
黄长弦上勾股和为大勾虚勾共，又为通和内少个大差上勾股和也，其较则两个平差也。勾弦和为通弦上弦较较，其较则两个明勾也。股弦和为二圆径二叀勾，其较则二叀勾也。弦较和为两个大差勾也，其较则两个小差勾也。三事和为两大勾，其较则两虚勾也。
高弦上勾股和为高弦虚股共，又为一径及高勾高股差也；其较则底弦内减大勾也，又为边股内减底股也。勾弦共则底股，其较则明股也。股弦共即边股，其差则叀股也。弦较共则大差，其较则小差股也。三事和即大股，其较则虚股也，又为小差上勾弦较，又为明弦上弦较较。
平弦上勾股共即平弦虚勾共也，其较则大股内减边弦也。勾弦共即底勾，其差则明勾也。股弦共即边勾，其较则叀勾也。弦较共即大差勾，其较则小差也。三事和即大勾，其较则虚勾也，又为大差上股弦较，又为叀弦上弦较和。
大差上勾股和即大股内去虚勾，其差则大差弦内去圆径也。勾弦共即大股，其差则大差股内去二之明勾也。股弦和为大股上加个大中差也，其较则虚勾也。弦较和为两个边弦上勾弦较，其较即城径也。三事和即股与股圆差共，又为大弦大较共，又为二边股，其较则太虚上弦较和也。
小差上勾股和即大勾内去虚股也，其较则圆径内去小差弦也。勾弦和为大勾上减个小中差也，其较则虚股也。股弦共即大勾，其较则小差勾内去两个叀股也。弦较和为圆径，其较则为两个底弦上股弦较，又为两个叀弦上勾弦和也。三事和即勾与勾圆差共也，又为大弦大较较，又为二底勾，其较则太虚上弦较较也。
皇极勾股和即高弦平弦共，其较则明股内去叀勾也。勾弦共即底弦，其较则明弦也。股弦共则边弦，其较则叀弦也。弦较和为高弦明弦共，又为大股内减大差勾，又为大差弦，其较则小差弦也。三事和即通弦，其较则太虚弦也，又为明勾叀股共，又为高弦内减明弦，又为平弦内减叀弦，又为大差勾上减虚股，又为小差股上减虚勾也。
太虚勾股和即圆径内减虚弦，又为虚弦虚黄方共，又为皇极弦内去明股叀勾共，其差则大差勾内减个小差股也。勾弦共即小差股也，其较则虚股内减个小黄方也。股弦共即大差勾，其较则虚勾内减个小黄方也。弦较和为大差弦上弦和较，又为黄长弦上勾弦较，又为两个明勾，其较则小差弦上黄方麵也。三事和即大黄方，其较则为两个明弦上股弦较，又为叀弦上两个勾弦较，又为明弦上小差与叀弦上大差共也。
明弦勾股和即大差内减明弦，其较则明弦内减虚股也。勾弦并即高股，其较则高股内少二之明勾也。股弦和即边股内减大差勾，又为边勾边弦差，其较则半个虚黄方也。弦较和即大差上勾弦较，其较则虚股也。三事和即股圆差，其较则太虚上勾弦较，又为虚股内减虚黄方也。
叀弦上勾股和即小差内减叀弦，其较则虚勾内减叀弦也。勾弦和即底勾内减小差股，又为底股底弦差，其较则半个虚黄方也。股弦和即平勾，其较则平勾内少两个叀股也。弦较和即虚勾，其较则小差上股弦较也。三事和即勾圆差，其较则太虚上股弦较，又为虚勾内减虚黄方也。
前黄广勾股下：其勾股较又为大差上少个小差股，又为中差内少个小差较，又为黄广股内少一径。勾弦共又为两个底股，又为大股与小差股共。股弦和又为大弦中差共，又为两个边股。股弦差又为小差上黄方麵。
前黄长勾股下：其勾股较又为大差勾上少个小差也，又为圆径内少个黄长勾。勾弦共又为两个底勾，又为大勾与小差勾共。勾弦较又为大差上黄方麵。股弦共又为两个边勾。
右五和五较。
大弦为大勾与股圆差共，又为大股与勾圆差共。边弦乃边股平勾共，又为大股内减平弦上勾股较。底弦乃底勾高股共，又为大勾内加一个高差。黄广弦为大股内减虚股，又为边股叀股共。黄长弦乃大勾内减虚勾，又为底勾明勾共。高弦乃大差弦内减明弦，又为明弦虚弦共。平弦乃小差弦内减叀弦，又为叀弦虚弦共。
大差弦乃大股内减大差勾，又为高弦明弦共，又为大弦内去黄长弦。小差弦为大勾内减小差股，又为平弦叀弦共，又为大弦内去黄广弦。极弦乃高股平勾共，又为平弦明弦共，又为高弦叀弦共，又为大差弦内减高平二弦较，又为小差弦内加高平二弦较。虚弦乃皇极黄方麵，又为明勾叀股共，又为高弦内减明弦，又为平弦内减叀弦。明弦乃高弦内减虚弦。叀弦乃平弦内减虚弦。
黄广弦黄长弦相并为大弦虚弦共也，以此数减于大和馀即虚和。若以二弦相减馀即虚弦平弦共也。黄广弦又为大差弦虚弦共。黄长弦又为小差弦虚弦共。以黄长弦减于大勾馀即虚勾。以黄广弦减于大股馀即虚股。
边弦底弦相并为大弦皇极弦共也，于此并数内减大和馀为皇极弦内减圆径也。若以二弦相减馀即皇极差也。此数同者最多，故又为皇极弦内少个小差弦，又为高弦平弦较，又为明股内少叀勾，又为大差弦内少皇极弦，又为次差虚差共也。边弦又为皇极股弦共，又为黄广弦叀弦共。底弦又为皇极勾弦共，又为黄长弦明弦共也。以边弦减大股馀为半径内减平勾，又为平弦内减小差也。底弦内减大勾馀为高股内减半径，又为大差内减高弦也。
黄广弦内减边股即叀股。黄长弦内减底勾即明勾也。
高弦高股共即边股。平弦平勾共即底勾。高弦高勾共即底股。平弦平股共即边勾。
上高弦减于通股馀即边股内减明股也。下平弦减于通勾馀即边勾内减明勾也。高弦平弦相并即大弦内少个皇极弦也。若以相并数减于大和馀为皇极弦圆径共也。高弦平弦相减馀即皇极差也，又为皇极弦上减小差弦也。若以相减数却加于相并数即黄广弦也。
高弦内减明股得半径。平弦内减叀勾亦同上。皇极勾上加明弦为皇极弦。皇极股上加叀弦亦同上。
皇极弦：得极勾即底弦，得极股即边弦。内去极勾即明弦，去极股即叀弦。减于通弦即极和，得虚弦亦同上。内去虚弦即明弦叀弦共，去虚黄即明和叀和共也，去城径即傍差。内加极差即大差弦，去极差即小差弦，加角差即两个高股，减角差即二平勾。
太虚弦：加入极弦为极和。极弦内去之即明叀二弦共，再去之则明大差叀小差并也。加于大差弦即黄广弦，加于小差弦即黄长弦。内去明勾则叀股，加明勾为圆径内少虚黄叀股共。加入明股为明和叀股共，减于明股即明较内去叀股。加入明弦为极股，减于明弦为明大差叀小差内少个叀弦。加于明和即两个虚弦一个高差共也，减于明和即高差也。内去叀勾即明勾叀较共，又为叀股平差共。加于叀勾即叀和明勾共。加于叀股为二虚弦内少明勾，又为圆径内少虚黄明勾共。内减叀股即明勾。内加叀弦即极勾。内减叀弦为明勾内少个叀小差。加入叀和即两个虚弦内少个平差也。内减叀和即平差也。加入明叀二和共即极和内少个虚黄也。若减于明叀二和共，即明股叀勾共也。减于高弦即明弦，减于平弦即叀弦，加于角差即二明勾一极差共。减于角差即一极差二叀股较也。得傍差即明股叀勾共，内减傍差即虚三事和内去了极双差也。内加虚差即二明勾，内减虚差即二叀股。内加虚黄方即虚和，内减虚黄方即虚积大小差并也。
右诸弦。
大差弦、小差弦共即两个极弦也，以两个极差为之较。大差差、小差差共即两个极差也，以两个傍差为之较。大差上大差、小差上大差共即两个明弦也，以两个明差为之较。大差上小差、小差上小差共即两个叀弦也，以两个叀差为之较。大差黄、小差黄数共即两个极黄也，以两个虚差为之较。大差勾、小差勾共即两个极勾也，以两个平差为之较。大差股、小差股共即两个极股也，以两个高差为之较。二和共为二极和，以二角差为之较。
大差上弦较较即圆径，小差上弦较和亦同上。大差上小差即虚勾，小差上大差即虚股也。大差弦与明勾共即边股，小差弦与叀股共即底勾也。大差弦内减中差即黄长勾，小差弦内加中差即黄广股也。大股内减小差股即黄广股，大勾内减大差勾即黄长勾也。虚弦得虚股即大差勾，虚弦得虚勾即小差股也。明段弦较和即大差上勾弦较，明段弦较较即小差上勾弦较也。叀段弦较和即大差上股弦较，叀段弦较较即小差上股弦较也。大差勾内减虚弦馀即虚股，小差股内减虚弦馀即虚勾也。以大差和减大股即虚勾，以小差和减大勾即虚股也。以大差差减圆径即明勾，此差若多于圆径，则内减圆径，馀即虚勾也。以小差差减圆径即小差弦也。大差弦上加一径即大股上加虚勾也。小差弦上加一径即大勾上加虚股也。大差股内减高弦，馀即高股内减半径。平弦内减小差勾，馀即半径内减平勾也。大差差内减虚差即二明差，小差差内减虚差即二叀差也。
大弦内减大小差共即圆径。三事和内减二之大小差共即三个圆径也。
大差勾小差股相并名溷同和，即一圆径一虚弦也。若以相减即虚差也。
大差和小差和二数相并即大弦虚弦共也。二数相减即中差虚差共也。又半之并数即为极弦虚弦共也，又为高弦平弦共，又为皇极勾股共也。
大差差小差差二数相并即两个皇极差，又为大差弦内减小差弦也。二数相减而半之即是皇极弦上减圆径也（即旁差）。右大小差。
大差差、小差差、虚差共为一个通差，高、平、极三差共亦同上。明差、叀差、虚差共为一个极差也，诸黄方麵亦彷此。
边黄内减底黄即虚差。黄广黄内减黄长黄即二虚差。高黄内减平黄即虚差，盖高黄即虚股，平黄即虚勾也。大差黄内减小差黄即二虚差，盖大差黄即二明勾，小差黄即二叀股也。明黄内减叀黄馀即虚差。叀弦上三差合成一个虚黄方。
高差内减平差为旁差，边差内减底差亦同上，明差内减叀差亦同上。大差差内减小差差为二旁差，黄广差内减黄长差亦同上。
极双差即明叀二弦共。内加虚双差即明叀二和共，内减虚双差即明双差叀双差共也。内加旁差即极弦内少个虚弦旁差差，内减旁差即虚和也。内加虚差即极弦内少二叀股，内减虚差则极弦内少二明勾也。
极差内加旁差为大差差，内减旁差为小差差也。内加虚差即角差，内减虚差即次差也。倍极差为大差差、小差差共，则倍旁差为之较。倍极弦为大差弦、小差弦共，倍极差为之较。以极差为明差、平差共，则以蓌差为之较。以极差为高差、叀差共，则以抃和为之较。副置抃和上加抃差而半之即旁差也，下减抃差而半之则虚差也。极差内减二之平差得蓌差。
角差内加旁差为二高差，内减旁差即二平差也。内加明叀二差并而半之得极差，内减明叀二差而半之则虚差也。内加极差即通差，内减极差则虚差也。
以虚差减于明和为明叀二股共，以虚差加于叀和为明叀二勾共也。又副置二和共上加次差而半之，即明叀二股共；下减次差而半之，即明叀二勾共也。明叀二股共以高差为较，明叀二勾共以平差为较。
以高差减明和即虚弦，以平差加叀和亦同上。以高差减高股即半径，以平差加平勾亦同上。以高差减大差差即明差，以平差减小差差即叀差也。以高差减大差即高弦，以平差加小差即平弦也。二之平差内去虚差馀即小差差，去二虚差即两个叀差。
高股即半径上股方差，平勾即半径上勾方差，故高勾平股共为全径也。黄广股即全径上股方差，黄长勾即全径上勾方差，故黄广勾黄长股共数为两个全径也。
边弦内减底弦即皇极差。边股内减底股即高差，又为底弦内减大勾。边勾内减底勾即平差，又为大股内减边弦也。
大勾减底弦馀即半径为勾之中差也。大股内减边弦馀即半径为股之中差也。边股底勾相并即大弦，若以相减即通中差也。二高股一虚差合成一个股圆差。二平勾一虚差合成一个勾圆差。
明双差亦为明叀二大差，其较则明差也。叀双差亦为明叀二小差，其较则叀差也。明双差内减明差即虚黄，叀双差上加叀差亦同上。以明双差加明和即两明弦，以叀双差加叀和则两叀弦也。以明双差减明和而半之即明黄，又为虚大差。以叀双差减于叀和而半之即叀黄，又为虚小差也。以虚大差减明和即明弦，以虚小差减叀和即叀弦也。明双差、叀双差相较则次差也。明双差叀双差又相并加于明叀二和共，则为两个极双差。若以减于明叀二和共，则为两个虚双差也。明双差上加虚双差即明叀二股共，叀双差上加虚双差即明叀二勾共也。
以明叀二股共为明弦叀黄共，则高差虚黄共为之较；为明大小差虚大小差共则明叀二股共，内去两个虚双差为之较也。以明叀二勾共为叀弦明黄共，则以平差虚黄较为之较；为叀大小差虚大小差共则明叀二勾共，内减两个叀大小差为之较也。
明叀二和共内减旁差即二虚弦，虚弦内加旁差即明股叀勾共也。
明和内去平差即明股叀勾共，叀和上加高差亦同上也。明和内去高差即虚弦，叀和上加平差亦同上。明弦内去高差即虚勾，叀弦上加平差即虚股也。明股内去叀股即高差，去叀勾则极差也。明勾内去叀股即虚差，去叀勾则平差也。
明叀二股并内减虚弦即明差。明叀二勾并减于虚弦即叀差。
明叀二和共又为明叀二弦共与明叀二黄共数也，其较则明双差叀双差共数也。其明叀二和共数内减旁差即二虚弦也。若内减虚双差即明叀二弦共也。
极弦为高股平勾共则角差为之较，为高弦叀弦共则极差虚弦共为之较，为平弦明弦共则极差虚弦较为之较也。
极弦得极差为大差弦，大差弦内减明和则高弦内减虚大差也，内减极差则为小差弦，小差弦内减叀和则是平弦内减虚小差也。又大差弦减于明和与高股共，馀则为虚勾不及明勾剩粒保
小差弦内减叀和与平勾共，馀则为叀股不及虚股数也。右诸差。
边勾边股差又为皇极差与高差共也，又为边弦内去大勾也。边勾边弦共又为大勾边股共。边勾边弦较又为大差弦内减半径也。边股边弦较又为叀弦上股弦和。
底勾底股差又为皇极差平差共，又为大股内去底弦，又为高股内去底小差。底勾底弦共为大弦内少个底股大勾差。底勾底弦较又为明弦上勾弦和。底股底弦共与边勾边弦共同。底股底弦较又为底勾内少小差股也。
边股内减高弦馀则高股，内减大差弦馀则明勾，内减底弦即底股内减大勾也，又为高弦内减底勾也。
底勾内减平弦馀即平勾，内减小差弦馀即叀股。以底勾减于边弦馀即大股内减边勾也，又为边股内减平弦也。边弦内减底股与底弦内减边勾同，为皇极弦内减半径也。
皇极勾内减明勾馀即平勾也，若减叀勾即半径也，倍之则为底勾明勾共。皇极股内减叀股馀即高股也，若减明股馀即半径也，倍之则为边股叀股共也。
明股得虚股即高股，明勾得虚勾即半径。叀股得虚股即半径，叀勾得虚勾即平勾也。高弦内减高股即叀股。平弦内减平勾即明勾也。明弦内减明差即虚股，叀弦内加叀差即虚勾也。高股即虚明二股共，平勾即虚叀二勾共也。明弦明勾并数与高股同，叀弦叀股并数与平勾同也。
明股叀勾相并减于极弦即虚和，又为极黄虚黄共也。
明叀二弦并内减叀双差即明叀二股并，内减明双差即明叀二勾并，内加虚弦即极弦，内减虚弦即明大差叀小差并也。
以明和为明弦明黄共，则明双差为之较。以叀和为叀弦叀黄共，则叀双差为之较也。明和又为高差虚弦共，又为极差与明叀二勾共数。叀和又为平差少于虚弦数，又为极差少于明叀二股数。
半之三事和内加半黄方即勾股共，若减之则弦也。半圆径内加半虚黄即虚和，减半虚黄即虚弦也。又以半虚黄加明和即高股，以半虚黄加叀和即平勾也。加明股则明弦，加叀勾则叀弦也。减明勾则明黄，减叀股则叀黄也。以虚黄加明黄则为虚股，以加叀黄则虚勾也。
右诸率互见。
高弦叀弦共为极弦，其差即虚弦极差共也。高股叀股共为高弦，其差即虚股高差共也。高勾叀勾共为平弦，其差即半径内减叀勾也。高和叀和共为极和，其差即极和内少二叀和也。高差叀差共为极差，其差即虚差旁差共也。高黄叀黄共为虚弦，其差即叀黄不及虚股数也（高黄即虚股）。高大差叀大差共即明弦，其差即半虚黄不及明股数也。此高大差即明股，此叀大差即半虚黄也。高小差（即叀股）叀小差共即叀弦，其差即叀小差不及叀股数也。明平二弦共亦为极弦，其较即虚弦不及极差数也。明平二股共亦为高弦，其较即明股内减半径也。明平二勾共亦为平弦，其较即平差内去虚勾也。明平二和共亦为极和，其较则极和内少二之平和也。明平二差共亦为极差，其较即虚差不及旁差数也。明平二黄共亦为虚弦，其较则虚勾不及明黄数也。明平二大差共亦为明弦，其较即明勾不及明大差数也（平大差即明勾）。明平二小差共亦为叀弦，其较则叀勾不及半虚黄数也。此明小差即半虚黄，此平小差即叀勾。
右四位相套。
边弦：自减其股为平勾。自减其勾为明股明弦并。减于通弦馀平弦。减于通股馀平差。内减通勾馀边差。内减底弦馀极差。内减底股为半径旁差共，又为极弦内少半径。内减底勾即大股内去边勾也。内减黄广弦馀叀弦。内减黄广股即小差股内去平差。内减黄广勾即大差内去平差。内减黄长弦又得黄长弦。内减黄长股与内减黄广勾同。内减黄长勾即大股内去极勾虚勾共。内减皇极弦馀高弦。
底弦：自减其股为叀勾叀弦并。自减其勾为高股。减于通弦馀高弦。减于通股馀底差。内减通勾馀高差。减于边弦馀极差。减于边股即底差内去半径。内减边勾即高差平勾共。减于黄广弦馀为明大差叀小差并。减于黄广股即底差内去小差股。内减黄广勾即一个明弦一个黄长股弦较。内减黄长弦馀明弦。内减黄长股与内减黄广勾同。内减黄长勾馀为高股明勾共。内减极弦为平弦。减于边股又为底股内去大勾。
高差平差共又为平勾高股差。以半径减高股即高差。半径内减平勾即平差。明勾内减叀勾与平差同。明股内减叀股与高差同。股圆差内减极股即高差也。勾圆差减于极勾即平差也。正股内去边弦即平差也。底弦内去正勾即高差也。大差勾内去极勾即平差也。极股内去小差股即高差也。极差内去叀差即高差也，内去明差即平差也。
旁差即城径极弦较也，又为明差叀差较，又为高差平差较。极差得之为大差差也，去之则为小差差也。
又高差平差（下）：明和内去虚弦即高差，虚弦内去叀和即平差。大差弦内加虚差即黄广股，小差弦内减虚差即黄长勾。通差内去高差即底差，内去平差即边差也。
虚大差得二虚勾即勾圆差之股，虚小差得二虚股即股圆差之勾也。明段弦较较即虚股也。叀段弦较共即虚勾也。
半虚黄：叀勾得之即叀弦也，减于此数即虚黄内去叀弦也。叀股得之即虚勾也，去之即叀黄方也。叀弦得之即平勾内去叀黄也，去之则叀勾也。明勾内得之即虚股也，去之即明黄方也。明股得之即明弦也，去之即明弦内去个虚黄方也。明弦得之即高股内去明黄也，去之即明股也。
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全是屁话！
一个三角形和内接圆之间的几何关系，几个公式就能说明白，初中生都能运用自如，作者罗哩罗嗦了几千字，越说越糊涂！
测圆海镜
卷二
○正率一十四问
假令有圆城一所，不知周径。四麵开门，门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为乾地，其东北十字道头定为艮地，其东南十字道头定为巽地，其西南十字道头定为坤地。所有测望杂法，一一设问如后。
或问：甲乙二人俱在乾地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙。问径几里。答曰：城径二百四十步。
法曰：此为勾股容圆也。以勾股相乘，倍之为实。并勾股幂以求弦，複加入勾股共以为法。
草曰：置甲南行六百步在地。以乙东行三百二十步乘之，得一十九万二千步，倍之得三十八万四千步为实。以乙东行步自之，得一十万○二千四百步为勾幂；以甲南行步自之，得三十六万步为股幂；二幂相并，得四十六万二千四百步为弦方实。以平方开之，得六百八十步则弦也。以弦加勾股共，共得一千六百步以为法。如法而一，得二百四十步则城径也。合问。
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甲、西北隅、乙组成一个直角三角形，内接一圆，求圆直径。
直角三角形一边=320，一边=600，所以斜边=680，内接圆直径:=4S/s=4(320x600/2)/(320+600+680)=240步。
作者只给出了答案，没给出推导过程，这也是支那古算经的共同特点。
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或问：甲乙二人俱在西门，乙东行二百五十六步，甲南行四百八十步望见乙。问答同前。
法曰：此为勾上容圆也。以勾股相乘，倍之为实。并勾股幂以求弦，加入股以为法。
草曰：置甲南行四百八十步在地，以乙东行二百五十六步乘之，得一十二万二千八百八十步，倍之得二十四万五千七百六十步为实。以乙东行步自之，得六万五千五百三十六步为勾幂；以甲南行步自之，得二十三万○四百步为股幂；勾股幂相并，得二十九万五千九百三十六步为弦方实。以平方开之，得五百四十四步为弦也。以加入甲南行步，共得一千○二十四步以为法。如法而一，得二百四十步则城径也。合问。
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这是直角三角形（256，480，544）内接半圆，把同样的三角形接到下半部分，构成一个新的等腰三角形，内接整个圆，新三角形的边长为：544，544，（480x2=960），所以内接圆的直径=4S/s=2x256（高）x960/（544+544+960）=240步
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或问：甲乙二人俱在北门，乙东行二百步而止，甲南行三百七十五步望见乙。问答如前。
法曰：此为股上容圆也。以勾股相乘，倍之为实。以勾股幂求弦，加入勾以为法。
草曰：置甲南行三百七十五步，以乙东行二百步乘之，得七万五千步，倍之得一十五万步为实。以乙东行自之，得四万步为勾幂；以甲南行自之，得一十四万 ○六百二十五步为股幂；勾、股幂相并，得一十八万○六百二十五步为弦方实。如平方而一，得四百二十五步则弦也。加入乙东行二百步共得六百二十五步以为法，以法除之，得二百四十步则城径也。合问。
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如上题，依然是直角三角形（200，375，425）内接半圆，再画一个同样的直接三角形，内接整个圆，所以，直径=4S/s=2x400x375/(400+425+425)=240步
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或问：甲乙二人俱在圆城中心而立，乙穿城向东行一百三十六步而止，甲穿城南行二百五十五步望见乙。问答同前。
法曰：此为勾股上容圆也。以勾股相乘，倍之为实。并勾股幂，如法求弦以为法。
草曰：以二行步相乘得三万四千六百八十步，倍之得六万九千三百六十步为实。置乙东行自之，得一万八千四百九十六步为勾幂；又以甲南行自之，得六万五千○二十五步为股幂；二幂相并，得八万三千五百二十一步为弦方实。以平方开之，得二百八十九步即弦也，便以为法。如法除实，得二百四十步即城径也。合问。
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这是直角三角形（136，255，289）内接四分之一圆，r=136x255/289=120，直径=240步
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或问：甲乙二人同立于乾地，乙东行一百八十步遇塔而止。甲南行三百六十步，回望其塔正居城径之半。问答同前。
法曰：此为弦上容圆也。以勾股相乘，倍之为实，以勾股和为法。
草曰：以二行步相乘得六万四千八百步，倍之得一十二万九千六百步为实。并二行步，得五百四十步以为法。以法除实，得二百四十步即城径也。合问。
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设圆半径为r，根据三角形比例定理，有方程：
（360-r）/360=r/180，解得；r=120步，所以 直径=240 步
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或问：甲乙二人俱在坤地，乙东行一百九十二步而止，甲南行三百六十步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：此为勾外容圆也。以勾股相乘，倍之为实，以弦较共为法。
草曰：以二行步相乘，得六万九千一百二十步，倍之得一十三万八千二百四十步为实。置乙东行自之，得三万六千八百六十四步为勾幂；又置南行自之，得一十二万九千六百步为股幂；二幂相并，得一十六万六千四百六十四步为弦方实。以平方开之，得四百○八步即弦也。又置甲南行步，内减乙东行步，馀一百六十八步即较也。以较加弦，共得五百七十六步以为法。实如法而一，得二百四十步为城径也。合问。
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设圆半径为r，甲乙连线与圆直径相交点到圆心距离为x，根据比例定理，有如下方程：
192/（r+x）=360/（360+r）
r/x=360/408
解得：r=120 步
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或问：甲乙二人同立于艮地，甲南行一百五十步而止，乙东行八十步，望甲与城参相直。问答同前。
法曰：此为股外容圆也。以勾股相乘，倍之为实，以弦较较为法。
草曰：二行步相乘得一万二千，倍之得二万四千步为实。以甲南行自之，得二万二千五百步为股幂；又以乙东行步自之，得六千四百步为勾幂；勾股幂相并，得二万八千九百步为弦方实。以平方开之，得一百七十步即弦也。以二行步相减，馀七十步为勾股较也。以此较又减弦，馀一百步即弦较较也，便以为法。实如法而一，得二百四十步即城径也。合问。
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设半径为r，r/x=150/170=15/17,，（x-r）/（150-r）=8/15，解得：
r=120 步
图略，三角形比例定理。
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或问：甲乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直。问答同前。法曰：此为弦外容圆也。勾股相乘，倍之为实，以弦和较为法。
草曰：以二行步相乘，得四千三百二十步，倍之得八千六百四十步为实。以甲北行自之，得八千一百步为股幂；又以乙西行自之，得二千三百○四步为勾幂；二幂共得一万○四百○四步为弦方实。以平方开之，得一百○二步为弦也。又并二行步得一百三十八步为和，以弦减和馀三十六步，得黄方以为法。实如法而一，得二百四十步即城径也。合问。
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有方程：
r/x=90/102（斜边）
（x-r）/（r-90）=48/90
解得：r=120 步
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或问：甲乙二人俱在南门，乙东行七十二步而止，甲南行一百三十五步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：此为勾外容圆半也。以勾股相乘，倍之为实，以大差为法。
草曰：以二行步相乘，得九千七百二十步，倍之得一万九千四百四十步为实。又以乙东行自之，得五千一百八十四步为勾幂；又以甲南行自之，得一万八千二百二十五步为股幂；二幂相并，得二万三千四百○九步为弦方实。以平方开之，得一百五十三步即弦也。以乙东行七十二步为勾，以减弦，馀八十一步即勾弦差也，便以为法。实如法而一，得二百四十步即城径也。合问。
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r/（r+135）=72/153（斜边）
解得：r=120 步
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或问：甲乙二人俱在东门，甲南行三十步而止，乙东行一十六步，回望甲与城参相直。问答同前。
法曰：此为股外容圆半也。以勾股相乘，倍之为实，以小差为法。
草曰：以二行步相乘，得四百八十步，倍之得九百六十步为实。又以乙东行自之，得二百五十六步为勾幂；又以甲南行自之，得九百步为股幂；二幂相并，得一千一百五十六步为弦方实。以平方开之，得三十四步即弦也。以甲南行三十步为股，以减弦，馀四步以为法。以法除实，得二百四十步即城径也。合问。
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r/（r+16）=30/34
解得：r=120 步
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或问：甲出西门南行四百八十步而止，乙出东门南行三十步望见甲。问答同前。
法曰：此为半矮梯也。以二行步相乘为实，如平方而一，得半径。
草曰：以二行步相乘，得一万四千四百步为实。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
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x/（x+2r）=30/480；
r/（r+x）=480/（开根（480x480+（2r+x）^2））
解得：r=120 步
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又问：甲乙二人。乙出南门折而东行七十二步而止，甲出北门折而东行二百步望见乙。问答同前。法曰：以二行步相乘，得数四之为实。如平方而一，得城径。
草曰：二行步相乘得一万四千四百步，又四之，得五万七千六百步为实。以平方开之，得二百四十步即城径也。合问。
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72/200=x/（2r+x）；
r/（r+x）=200/开根（200x200+（2r+x）^2）
解得：r=120 步
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又假令：乙出南门折东行二十步，甲出北门折东行七百二十步。如此之类，亦同上法（以上三问俱是以半矮梯求之）。
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20/720=x/（2r+x）；
r/（r+x）=720/开根（720x720+（2r+x）^2）
解得：r=120 步
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或问：甲乙二人。乙在艮地东行八十步而立，甲在坤地南行三百六十步望见乙。问答同前。
法曰：此为两差求黄方也。以二行步相乘，倍之为实，以平方开之得城径。
草曰：二行步相乘得二万八千八百步，倍之得五万七千六百步为实。以平方开之，得二百四十步即城径也。合问。别得甲南行即股圆差也，乙东行即勾圆差也。
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r/(r+x)=(2r+80)/开根(（2r+80）^2+(2r+360)^2)；
(2r+x)/（2r+360=(r+80)/2r+80）
解得：r=120 步
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或问：甲出东门四十八步而立，乙出南门四十八步见之。问答同前。法曰：此当以方五斜七求之，每出门二步，管径十步。
草曰：置出门步在地，以五之，得二百四十步即城径也。据此法，合置出门步在地，以十之，二而一。以二数相折，故五因便是。合问。
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(r+48)^2=根号2xrx（r+48）
解得：r=48/（根号2-1），古人把根号2=1.4计算，所以结果是：r=120 步
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或问：出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之。问答同前。
法曰：以二行步相乘为实，二行步相并为从，一步常法。得半径。
草曰：立天元一为半径，置南行步在地，内减天元半径，得�为股圆差。又置乙东行步在地，内减天元，得下式�为勾圆差。以勾圆差增乘股圆差，得�为半段黄方幂，即城幂之半也（寄左）。又置天元幂以倍之，得�，亦为半段黄方幂，与左相消得�。如法开之，得半径。合问。
又法：识别得二行并即大弦也，立天元一为半径。置甲南行步加天元一，得�为大股。又置乙东行步加天元，得�为大勾也。勾股相乘，得�为一个大直积。以天元除之，得下式�，为三事和也（寄左。黄方除倍积得三事和。今以半黄方除直积，亦为三事和也）。然后并二行步，又并入勾股共，得�为同数，与左相消得 �。以平方开之，得一百二十步，倍之得全径也。合问。
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200/（200+r）=(2r+x)/(480+r)；
r/（r+x）=(200+r)/开根(（200+r）^2+(480+r）^2)
解得：r=120 步
测圆海镜
卷三
○边股一十七问
或问：乙出东门南行不知步数而立，甲出西门南行四百八十步望见乙，複就乙行五百一十步与乙相会。问答同前。法曰：倍相减步，以乘二之甲南行步为平方实，得城径。
草曰：识别得二行相减馀三十步，即乙出东门南行步也，倍相减步得六十步，以乘二之甲南行步九百六十步，得五万七千六百步为平方实。如法开之，得二百四十步即城径也。合问。
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x/（2r+x）=y/480
开根（x^2+y^2）/(开根（x^2+y^2）+510)=x/(2r+x)
r/（r+x）=480/（510+开根（x^2+y^2））
求解过程略
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或问：甲出西门南行四百八十步而止，乙从艮隅东行八十步望见甲。问答同前。
法曰：倍南行步，以东行步乘之为实，东行步为从方，一步常法。得全径。
草曰：立天元一为圆径，以减于二之甲南行步，得�为两个大差也。以乙东行步乘之，得�为圆径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。以平方开之，得二百四十步即城径也。合问。
又法：半之乙东行步乘南行步为实，半乙东行步为从，一步常法。得半径。
草曰：立天元一为半城径，减甲南行步，得�为大差也。以半之东行步乘之，得�即半径幂（寄左）。然后以天元幂为同数，与左相消得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
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或问：甲出西门南行四百八十步而止，乙从艮隅亦南行一百五十步望见甲。问答同前。法曰：两行步相乘为实，南行步为从方，一为隅。得半径。
草曰：立天元一为半城径，以减乙南行步，得�为半梯头；以甲行步为梯底，以乘之，得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得�。开平方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：甲出西门南行四百八十步，乙出东门直行一十六步望见甲。问答同前。
法曰：以四之东行步乘南行幂为实，从空，东行为廉，一步为隅法。得全径。
草曰：立天元一为圆径，加乙东行步，得�为中勾，其甲南行即中股也。置东行步为小勾，以中股乘之，得�太，合以中勾除。今不受除，便以为小股也（内寄中勾分母）。乃複以中股乘之，得三百六十八万六千四百，又四之，得一千四百七十四万五千六百为一段圆径幂（寄中勾分母。寄左）。然后以天元径自之，又以中勾乘之，得�为同数，与左相消得�。以立方开之，得二百四十步为城径也。合问。
或问：乙出南门东行七十二步而止，甲出西门南行四百八十步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：以乙东行幂乘甲南行为实，乙东行幂为从方，甲南行步内减二之东行步为益廉，一步常法。得半径。
草曰：立天元一为半城径，以减南行步，得�为小股；又以天元加乙东行，得�为小勾。又以天元加南行步，得�为大股。乃置大股在地，以小勾乘之，得下式�，合以小股除之。今不受除，便以为大勾（内寄小股分母）。又置天元半径，以分母小股乘之，得�，以减大勾，得�为半个梯底于上。以乙东行七十二步为半个梯头，以乘上位，得�为半径幂（内寄小股分母。寄左）。然后置天元幂，又以分母小股乘之，得�为同数，与寄左相消得�。以立方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
又法曰：以云数相乘为实，相减为从，一虚法，平开得半径。
草曰：别得二数相并为大股内少一虚勾，其二数相减为大差弦也。立天元一为半径，副置之。上位减于四百八十，得�为股圆差（即大差股也）。下位加七十二，得�为大差勾。勾股相乘得下式�为一段大差积（寄左）。再以大差勾减于大差股，馀�为较，又加入大差弦四百单八，共得�为弦较共也。以天元乘之，得� 为同数，与左相消得�。以平方开之得一百二十步，即半径。合问。
前法太烦，故又立此法以就简也。
或问：乙出南门东行不知步数而立，甲出西门南行四百八十步望见乙，与城参相直。又就乙行四百○八步与乙相会。问答同前。
法曰：二行步相减以乘甲南行步为实，甲南行步内减相减步为益方，一步常法。得半径。
草曰：识别得二行相减馀七十二步，即是乙出南门东行数也，更不须用弦。遂立天元一为半城径，加乙东行，得�为小勾也。副置南行步，上减天元，得� 为小股；下加天元，得�为大股。乃置大股以小勾乘之，得下式�，合以小股除之。今不受除，便以此为大勾也（内带小股分母）。又倍天元，以小股乘之得下式 �，以减于大勾，得�为勾圆差也。合以股圆差乘之，缘此勾圆差内已带小股分母（小股即股圆差也），更不须乘，便以此为半段黄方幂（更无分母也。寄左）。乃以天元自之，又倍之为同数，与左相消得�。以平方开之，得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出东门直行不知步数而止，甲出西门南行四百八十步望见乙，複就乙斜行五百四十四步与乙相会。问答同前。
法曰：半南行步减半斜行步，以乘南行幂为实，从方空，半斜行半南行相减，得数加入南行步为隅法。得半径。
草曰：识别得二行相减馀六十四步，即半径为股之勾也。立天元为半径，就以为小股，其二行相减馀六十四步即小勾也。乃置甲南行步加天元，得下式�为大股，以小勾乘之得�，又以小股除之得�为大勾。又倍天元一减之，得下式�为勾圆差也，半之得�于上。乃以天元减甲南行步，得�为股圆差，以乘上位得�为半径幂（寄左）。然后以天元幂与左相消，得下式�。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。
又法：以二数差乘二数并，开方得边勾，複以边股乘之为实，并二数而半之为法，实如法得二百四十步，即城径（此盖用前勾上容圆法也）。
或问：乙从乾地东行，不知几步而止，甲出西门南行四百八十步望见乙，複就乙斜行六百八十步与乙相会。问答同前。
法曰：并二行数以二行差乘之，内减二行差幂为实，并二行步及二行差为从方，二步常法。得半径。
草曰：识别得二行相减馀二百步，即半圆径与小差共数也。立天元一为半城径，加于二百步得�为大勾也。又以天元加于甲南行四百八十步，得�即大股也。乃以大勾自之，得�为勾幂（寄左）。乃置甲斜行六百八十步为大弦，加入大股，共得�于上。再置二行差内减天元，得�为小差，以乘上位，得�为同数，与左相消得�。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。
又法：求小差：二行相减以自之，又四之为实；二行相减，八之于上，二之南行步内减二之二行相减数，又以加上位为益方；二步常法。
草曰：立天元一为小差，减二行差得�为半城径，以自之得�，又四之得�为圆径幂（寄左）。然后以半城径减于甲南行，得�，又倍之得�为两个大差也，又以天元乘之得�为同数，与左相消得下式�。以平方开之，得八十步为小差也。
或问：乙出南门不知步数而立，甲出西门南行四百八十步，望乙与城参相直，複就乙斜行二百五十五步与乙相会。问答同前。
法曰：甲南行内减二之两行差，馀以乘甲南行，又倍之为实，二步为隅。得半径。
草曰：别得二行步相减，馀二百二十五步乃是半径为勾之股也。立天元一为半城径，就以为小勾率，其二行差二百二十五步即为小股率。乃置甲南行步加入天元，得�为大股，以天元小勾乘之，得�，合以小股除。今不受除，便以此为大勾（内寄小股为母）。乃倍天元，以小股乘之得�元，以减大勾，馀�为一个小差于上（内寄小股分母）。乃以天元减甲南行步，得�为大差也，以乘上位得�，又倍之得�为圆径幂（内寄小股分母。寄左）。然后倍天元以自之，又以小股乘之，得 �为同数，与左相消得�。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：乙出南门直行一百三十五步而止，甲出西门南行四百八十步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：二行步相减馀以自乘，内减乙行幂为实，二之甲南行为益从，一步常法。得半径。
草曰：立天元一以为半径，便以为勾率；又以天元加乙行步，并以减于甲行步，得�为股率。乃置乙南行步一百三十五步为小股，以勾率乘之得�元，合以股率除之。今不受除，乃便以此为小勾（内寄股率分母）。又置乙南行步，加二天元，得�为大股，以勾率乘之得�，合以股率除之。今不受除，便以此为大勾（内寄股率分母）。以小勾大勾相乘，得�为半径幂（内带股率幂为分母。寄左）。然后置天元以自乘，又以股率幂乘之，得�为同数，与左相消得�。以平方开之得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：甲乙二人同出西门向南行，至西南十字道口分路。乙折东行一百九十二步而立，甲又南行，甲通行四百八十步，望乙与城参相直。问答同前。
法曰：两行相乘得数，又以乙东行乘之为实，二行相乘于上位，又置乙东行以二行相减数乘之，得数加上位为法。
草曰：立天元一为半城径，副之。上位加甲行步，得�为大股也；下位减于甲行步，得�为小股也；其乙东行即小勾也。置大股以小勾乘之，得�（内寄小股 �为母）。便以为大勾也。置天元以母通之，得�，减于大勾，得�为半个矮梯底于上，再置乙东行内减天元，得下式�为半个矮梯头，以乘上位得下式�为半径幂（寄左）。再置天元以自之为幂，又以分母乘之，得�为如积，与左相消得�。上法下实，得一百二十步，即城之半径也。合问。
又法：二行步相乘为实，倍甲南行内减乙东行为法。
草曰：立天元一为半城径，副之。上位加甲南行，得�为大股；下位减甲行步，得�为小股，便是股圆差也。其乙东行即小勾也。置大股以小勾乘之，得�，内寄小股�为母，便以为大勾也。再置天元以二之，又以分母乘之，得�为全径。以减于大勾，馀�为勾圆差也。合以股圆差乘之，缘内已有小股分母，不须更乘，便以此为两段之半径幂也，更无分母（寄左）。然后置天元幂以二之，得�为如积，以左相消得�。上法下实，得一百二十步即半城径也。合问。
或问：见边股四百八十步，叀弦三十四步。问答同前。
法曰：叀弦乘边股，半之为实，半叀弦半边股相并为从，半步隅法。开平方，得叀股�。
草曰：立天元一为叀股，加叀弦得�，为平勾也。又以天元减边股而半之，得�为高股也。平勾高股相乘，得�为半径幂（寄左）。然后以天元乘边股为同数，与左相消得下式�。开平方得叀股三十步，以乘边股，开平方倍之即圆径也。合问。
或问：见边股四百八十，明弦一百五十龋粒保问答同前。
法曰：二云数相减複倍之，内减边股，複以边股乘之于上；又以明弦幂乘上位为实，以边股乘明弦幂又二之为从；二云数相减馀以自之为第一廉，二云数相减又倍之为第二益廉，一常法。开三乘方，得明勾�。
草曰：立天元一为明勾，加明弦得�为高股也。以高股减边股，馀�为高弦，以倍之得�为黄广弦也。内却减边股，得�为叀股，複以边股乘之，得�于上。又以明弦自乘，得二万三千四百○九为分母，以乘上位得�为带分半径幂（寄左）。然后置黄广弦，以天元乘之，得�。複合以明弦除之，不除，寄为母，便以此为全径。又半之，得�为半径，以自之得�为同数，与左相消得下式�。开三乘方得七十二步，即明勾也。馀各依法入之。合问。
又法：边股内减二明弦，複以边股乘之，複以明弦幂乘之为三乘方实。廉从并与前同。
草曰：识别得二数相减馀�为高股虚弦共，又为高弦明勾共。此馀数内又去半径即明和也。明和明弦相并即股圆差，相减则明黄方也。又倍明弦加明黄亦得股圆差也。边股内减明勾馀即大差弦也。立天元一为明勾，减于云数相减数，得�即高弦也。以高弦减边股得�即高股也，以高股减于云数相减数，得�即虚弦也。以天元又减虚弦，得�即叀股也。乃置高弦，以天元乘之，得�，合明弦除。不受除，便以此为高勾也（即半径）。高勾自之，得�为半径幂（内带明弦幂分母。寄左）。然后置边股以叀股乘之，得�为半径幂；又以明弦幂二万三千四百○九分母通之，得�为同数，与左相消得实、从、廉、隅五层，一如前式。
或问：边股四百八十步，高弦二百五十五步。问答同前。法曰：以边股减于二之高弦，複以边股乘之。开平方，得半径。
草曰：立天元一为半径。先倍高弦，内减边股馀�，複以边股乘之，得�（寄左）。以天元幂与左相消，得�。开平方得数，倍之即城径也。合问。
或问：边股四百八十步，平弦一百三十六步。问答同前。
法曰：置平弦以边股再乘之为实，以边股自之为益从，平弦为益廉，一虚隅。开立方，得半径。
草曰：别得平弦即皇极勾也。立天元一为半径，副之。上位加平弦，得�即边勾也；下位减于平弦，得�即叀勾也。置叀勾以边股乘之，得�，合边勾除。今不受除，寄为母，便以此为叀股。乃以此边股乘之，得�为半径幂（内带边勾分母。寄左）。然后以天元为幂，以分母边勾乘之，得�为同数，与左相消得 �。开立方得一百二十步，倍之即城径也。合问。
或问：边股四百八十步，明股明弦和二百八十八步。问答同前。
法曰：以二云数相减馀加边股，複以减馀乘之，讫。又折半于上，又以减馀自之，减上位为实，并云数半之为法。得明勾�。
草曰：别得二数相减馀�为大差勾。立天元一为明勾，减于大差勾，得�即半径也。又以天元减半径，得�为虚勾于上；又以半径加边股，得�为通股于下。上下相乘，得�。折半得�为半径幂（寄左）。然后以半径幂�为同数，与左相消得�。上法下实，得七十二步，即明勾也。合问。
或问：见边股四百八十步，叀勾叀弦和五十步。问答同前。
法曰：半边股、半和步相并得�为汛率。以汛率减边股，以自之，又二之于上，以和步乘汛率减上位为实，以汛率减边股六之于上，内又加半个边股、三个和步为益从，三步常法。得叀股�。
草曰：别得和步得叀股即小差也，小差边股共即二中差。立天元一为叀股，加和步得�即小差也。以小差加边股而半之，得�即中差也。中小差相并得 �即大差也。以小差乘之，得�为半段径幂（寄左）。然后置边股内减大差得�为半径，以自之，得�，又倍之得下式�。与左相消得下式�。开平方，得三十步即叀股也。合问。
法曰：和步乘边股，又以和步乘之为实；倍边股加和步，又以和步乘之为从；边股内减二之和步为益廉，一常法。开立方，得叀股�。
草曰：别得边勾边弦和内减和步即黄广勾弦和也。边股得叀股即黄广弦也。黄广勾即圆径。叀弦上三事和即小差。立天元一为叀股。以和步乘边股得 �，以叀股除之得�为边勾边弦和也。以和步减之，馀得下式�为黄广勾弦和也。以天元加边股得下式�为黄广弦，以减于黄广勾弦和，馀得下式�为圆径。倍边股得下�太，内减圆径得下式�为两个大差于上。又以和步加天元，得下式�为小差，以乘上位得�为径幂（寄左）。然后以天元乘边股，又四之得�为同数，与左相消得�。开立方得三十步，即叀股也。合问。
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结论：整本书都是关于三角形和内切圆的关系，解方程的时候会遇到二次方程式，如此而已。
一本极度无聊的书，实在看不下去了，后面4-12卷不再评述，道理与前3卷完全一样。
解二次方程是要开根的，而且有个代数公式，作者对此一无所知，答案都是硬凑出来。
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